Specyfikacje domeny czasu

W tym rozdziale omówimy specyfikacje w dziedzinie czasu systemu drugiego rzędu. Odpowiedź skokową systemu drugiego rzędu dla niedotłumionej obudowy pokazano na poniższym rysunku.

Na tym rysunku przedstawiono wszystkie specyfikacje w dziedzinie czasu. Odpowiedź aż do czasu ustalania jest znana jako odpowiedź przejściowa, a odpowiedź po czasie ustalania jest znana jako odpowiedź w stanie ustalonym.

Czas zwłoki

Jest to czas potrzebny na osiągnięcie odpowiedzi half of its final valueod chwili zerowej. Jest oznaczony przez $ t_d $.

Rozważ odpowiedź skokową układu drugiego rzędu dla t ≥ 0, gdy „δ” mieści się między zerem a jedynką.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Ostateczna wartość odpowiedzi skokowej to jeden.

Dlatego przy $ t = t_d $ wartość odpowiedzi skokowej będzie wynosić 0,5. Zastąp te wartości w powyższym równaniu.

$$ c (t_d) = 0,5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$

Używając przybliżenia liniowego, otrzymasz delay time t_d tak jak

$$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $$

Czas wschodu

Jest to czas potrzebny na powstanie odpowiedzi 0% to 100% of its final value. Dotyczy tounder-damped systems. W przypadku systemów z nadmiernym tłumieniem należy wziąć pod uwagę czas trwania od 10% do 90% wartości końcowej. Czas narastania jest oznaczony przezt_r.

W momencie t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Wiemy, że ostateczna wartość odpowiedzi skokowej to jeden.

Dlatego przy $ t = t_2 $ wartość odpowiedzi skokowej wynosi jeden. Zastąp te wartości w poniższym równaniu.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Zastąp wartości t ₁ it ₂ w poniższym równaniurise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ Dlatego \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Z powyższego równania możemy wywnioskować, że czas narastania $ t_r $ i tłumiona częstotliwość $ \ omega_d $ są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Godziny szczytu

Jest to czas potrzebny, aby odpowiedź dotarła do peak valuepo raz pierwszy. Jest oznaczony przez $ t_p $. Przy $ t = t_p $, pierwsza pochodna odpowiedzi wynosi zero.

Wiemy, że odpowiedź skokowa systemu drugiego rzędu dla obudowy niedotłumionej to

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Różniczkuj $ c (t) $ względem „t”.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ po prawej) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Zastąp, $ t = t_p $ i $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ w powyższym równaniu.

$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

Z powyższego równania możemy wywnioskować, że szczytowy czas $ t_p $ i tłumiona częstotliwość $ \ omega_d $ są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Peak Overshoot

Przekroczenie wartości szczytowej M_pdefiniuje się jako odchylenie odpowiedzi w czasie szczytu od końcowej wartości odpowiedzi. Nazywa się to równieżmaximum overshoot.

Matematycznie możemy to zapisać jako

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Gdzie,

c (t _p ) jest wartością szczytową odpowiedzi.

c (∞) jest końcową (w stanie ustalonym) wartością odpowiedzi.

Przy $ t = t_p $, odpowiedź c (t) to -

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Zastąp $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ po prawej stronie powyższego równania.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Wiemy to

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Otrzymamy więc $ c (t_p) $ as

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Zastąp wartości $ c (t_p) $ i $ c (\ infty) $ w równaniu przekroczenia wartości szczytowej.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ można obliczyć za pomocą tego wzoru.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \% $$

Podstawiając wartości $ M_p $ i $ c (\ infty) $ w powyższym wzorze, otrzymamy Procent przekroczenia wartości szczytowej $ \% M_p $ jako

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

Z powyższego równania możemy wywnioskować, że procent przekroczenia wartości szczytowej $ \% M_p $ zmniejszy się, jeśli współczynnik tłumienia $ \ delta $ wzrośnie.

Czas ustalania

Jest to czas potrzebny do osiągnięcia przez reakcję stanu ustalonego i pozostania w określonych zakresach tolerancji wokół wartości końcowej. Ogólnie zakresy tolerancji wynoszą 2% i 5%. Czas ustalania jest oznaczony przez $ t_s $.

Czas ustalania dla 5% pasma tolerancji wynosi -

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

Czas ustalania dla 2% pasma tolerancji wynosi -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Gdzie $ \ tau $ jest stałą czasową i jest równe $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Zarówno czas ustalania $ t_s $, jak i stała czasowa $ \ tau $ są odwrotnie proporcjonalne do współczynnika tłumienia $ \ delta $.

• Zarówno czas ustalania $ t_s $, jak i stała czasowa $ \ tau $ są niezależne od wzmocnienia systemu. Oznacza to, że nawet system wzmocnienia się zmienia, czas ustalania $ t_s $ i stała czasowa $ \ tau $ nigdy się nie zmienią.

Przykład

Znajdźmy teraz specyfikacje w dziedzinie czasu systemu sterowania mającego funkcję przesyłania w zamkniętej pętli $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $, gdy sygnał kroku jednostkowego jest stosowany jako wejście do tego systemu sterowania.

Wiemy, że standardowa postać funkcji transferu drugiego rzędu układu sterowania w pętli zamkniętej jako

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Zrównując te dwie funkcje przenoszenia, otrzymamy nietłumioną częstotliwość drgań własnych $ \ omega_n $ jako 2 rad / s, a współczynnik tłumienia $ \ delta $ jako 0,5.

Znamy wzór na tłumioną częstotliwość $ \ omega_d $ as

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Zastąp wartości $ \ omega_n $ i $ \ delta $ w powyższym wzorze.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0,5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1,732 \: rad / sec $$

Podstawiamy, $ \ delta $ wartość w następującej relacji

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0,5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Zastąp powyższe niezbędne wartości we wzorze specyfikacji każdej dziedziny czasu i uprość w celu uzyskania wartości specyfikacji w dziedzinie czasu dla danej funkcji transferu.

Poniższa tabela przedstawia wzory specyfikacji w dziedzinie czasu, podstawianie niezbędnych wartości i wartości końcowe.

Specyfikacja w dziedzinie czasu	Formuła	Podstawienie wartości we wzorze	Wartość końcowa
Czas zwłoki	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 sek
Czas wschodu	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1,732} $	$ t_r $ = 1,207 sek
Godziny szczytu	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1,813 sek
% Przekroczenia wartości szczytowej	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0,5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Czas ustalania dla pasma tolerancji 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0.5) (2)} $	$ t_s $ = 4 sek