Systemy sterowania - model przestrzeni stanów

Plik state space model systemu liniowego niezmiennego w czasie (LTI) można przedstawić jako,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Pierwsze i drugie równanie nazywane są odpowiednio równaniem stanu i równaniem wyjściowym.

Gdzie,

• X i $ \ dot {X} $ są odpowiednio wektorem stanu i wektorem stanu różniczkowego.

• U i Y są odpowiednio wektorem wejściowym i wektorem wyjściowym.

• A to macierz systemowa.

• B i C to macierze wejściowe i wyjściowe.

• D jest macierzą sprzężenia zwrotnego.

Podstawowe pojęcia modelu przestrzeni stanów

Następująca podstawowa terminologia związana z tym rozdziałem.

Stan

Jest to grupa zmiennych, która podsumowuje historię systemu w celu przewidywania przyszłych wartości (wyników).

Zmienna stanu

Liczba wymaganych zmiennych stanu jest równa liczbie elementów pamięciowych obecnych w systemie.

Examples - prąd płynący przez cewkę, napięcie na kondensatorze

Wektor stanu

Jest to wektor, który zawiera zmienne stanu jako elementy.

We wcześniejszych rozdziałach omówiliśmy dwa modele matematyczne układów sterowania. Są to model równań różniczkowych i model funkcji transferu. Model przestrzeni stanów można uzyskać z dowolnego z tych dwóch modeli matematycznych. Omówmy teraz kolejno te dwie metody.

Model przestrzeni stanów z równania różniczkowego

Rozważ następującą serię obwodu RLC. Ma napięcie wejściowe $ v_i (t) $, a prąd przepływający przez obwód wynosi $ i (t) $.

W tym obwodzie są dwa elementy pamięci (cewka i kondensator). Zatem liczba zmiennych stanu jest równa dwóm, a te zmienne stanu to prąd przepływający przez cewkę, $ i (t) $ i napięcie na kondensatorze, $ v_c (t) $.

Z obwodu napięcie wyjściowe, $ v_0 (t) $, jest równe napięciu na kondensatorze, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Zastosuj KVL wokół pętli.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

Napięcie na kondensatorze wynosi -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Zróżnicuj powyższe równanie w odniesieniu do czasu.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Wektor stanu, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Wektor stanu różniczkowego, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Możemy uporządkować równania różniczkowe i równanie wyjściowe w standardową postać modelu przestrzeni stanów jako,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Gdzie,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: and \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Model przestrzeni stanów z funkcji transferu

Rozważ dwa typy funkcji przenoszenia w oparciu o rodzaj terminów występujących w liczniku.

• Funkcja przenoszenia o stałym członku w liczniku.
• Funkcja przenoszenia mająca funkcję wielomianu „s” w liczniku.

Funkcja przenoszenia o stałym członku w liczniku

Rozważmy następującą funkcję przenoszenia systemu

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Zmień układ, powyższe równanie jako

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Pozwolić

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

i $ u (t) = u $

Następnie,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

Z powyższego równania możemy napisać następujące równanie stanu.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

Równanie wyjściowe to -

$$ y (t) = y = x_1 $$

Model przestrzeni stanów to -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Tutaj $ D = \ left [0 \ right]. $

Przykład

Znajdź model przestrzeni stanów dla systemu z funkcją transferu.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Zmień układ, powyższe równanie jako,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Pozwolić

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

i $ u (t) = u $

Wtedy równanie stanu to

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

Równanie wyjściowe to

$$ y (t) = y = x_1 $$

Model przestrzeni stanów to

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Funkcja przenoszenia mająca funkcję wielomianu „s” w liczniku

Rozważmy następującą funkcję przenoszenia systemu

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

Powyższe równanie ma postać iloczynu funkcji transferu dwóch bloków, które są kaskadowo.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

Tutaj,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Zmień układ, powyższe równanie jako

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n- 1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Pozwolić

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

i $ u (t) = u $

Wtedy równanie stanu to

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Rozważać,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Zmień układ, powyższe równanie jako

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Podstawiając zmienne stanu i $ y (t) = y $ w powyższym równaniu, otrzymamy równanie wyjściowe jako:

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Zastąp $ \ dot {x} _n $ wartość w powyższym równaniu.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

Model przestrzeni stanów to

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Jeśli $ b_n = 0 $, to

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$