Systemy sterowania - wykresy biegunowe

W poprzednich rozdziałach omawialiśmy wykresy Bodego. Tam mamy dwa oddzielne wykresy zarówno dla wielkości, jak i fazy jako funkcji częstotliwości. Porozmawiajmy teraz o wykresach biegunowych. Wykres biegunowy to wykres, który można narysować między wielkością a fazą. Tutaj wielkości są reprezentowane tylko przez wartości normalne.

Postać biegunowa $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ to

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Plik Polar plotjest wykresem, który można narysować między wielkością a kątem fazowym $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ zmieniając $ \ omega $ od zera do ∞. Arkusz wykresu biegunowego pokazano na poniższym rysunku.

Ten arkusz wykresu składa się z koncentrycznych okręgów i promieniowych linii. Plikconcentric circles i radial linesreprezentują odpowiednio wielkości i kąty fazowe. Kąty te są reprezentowane przez wartości dodatnie w kierunku przeciwnym do zegara. Podobnie możemy przedstawiać kąty z wartościami ujemnymi w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Na przykład kąt 270 0 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest równy kątowi -90 0 w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Zasady rysowania wykresów biegunowych

Postępuj zgodnie z tymi zasadami podczas kreślenia biegunów.

  • Zastępuje $ s = j \ omega $ w funkcji przesyłania w otwartej pętli.

  • Napisz wyrażenia określające wielkość i fazę $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.

  • Znajdź wielkość początkową i fazę $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, podstawiając $ \ omega = 0 $. Tak więc wykres biegunowy zaczyna się od tej wielkości i kąta fazowego.

  • Znajdź końcową wielkość i fazę $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, podstawiając $ \ omega = \ infty $. Tak więc wykres biegunowy kończy się na tej wielkości i kącie fazowym.

  • Sprawdź, czy wykres biegunowy przecina oś rzeczywistą, ustawiając wyimaginowany wyraz $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ równy zero i znajdź wartość (wartości) $ \ omega $.

  • Sprawdź, czy wykres biegunowy przecina urojoną oś, ustawiając wyraz rzeczywisty $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ na zero i znajdź wartość $ \ omega $.

  • Aby wyraźniej narysować wykres biegunowy, znajdź wielkość i fazę $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, biorąc pod uwagę inne wartości $ \ omega $.

Przykład

Rozważ funkcję przenoszenia w pętli otwartej systemu sterowania w pętli zamkniętej.

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

Narysujmy wykres biegunowy dla tego systemu sterowania, korzystając z powyższych zasad.

Step 1 - Zastąp, $ s = j \ omega $ w funkcji przesyłania w otwartej pętli.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

Wielkość funkcji przenoszenia w otwartej pętli wynosi

$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

Kąt fazowy funkcji przenoszenia w otwartej pętli wynosi

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 - Poniższa tabela pokazuje wielkość i kąt fazowy funkcji przenoszenia w otwartej pętli przy $ \ omega = 0 $ rad / s i $ \ omega = \ infty $ rad / s.

Częstotliwość (rad / s) Wielkość Kąt fazowy (stopnie)
0 -90 lub 270
0 -270 lub 90

Tak więc wykres biegunowy zaczyna się od (∞, −90 0 ) i kończy na (0, −270 0 ). Pierwsze i drugie wyrazy w nawiasach wskazują odpowiednio wielkość i kąt fazowy.

Step 3- Opierając się na początkowych i końcowych współrzędnych biegunowych, wykres biegunowy przecina ujemną oś rzeczywistą. Kąt fazowy odpowiadający ujemnej osi rzeczywistej wynosi -180 0 lub 180 0 . Tak więc, zrównując kąt fazowy funkcji przenoszenia w otwartej pętli do −180 0 lub 180 0 , otrzymamy wartość $ \ omega $ jako $ \ sqrt {2} $.

Podstawiając $ \ omega = \ sqrt {2} $ do wielkości funkcji przenoszenia w otwartej pętli, otrzymamy $ M = 0,83 $. Dlatego wykres biegunowy przecina ujemną oś rzeczywistą, gdy $ \ omega = \ sqrt {2} $, a współrzędna biegunowa wynosi (0,83, −180 0 ).

Możemy więc narysować wykres biegunowy z powyższymi informacjami na arkuszu wykresu biegunowego.