Systemy sterowania - analiza przestrzeni stanów

W poprzednim rozdziale dowiedzieliśmy się, jak otrzymać model przestrzeni stanów z równania różniczkowego i funkcji przenoszenia. W tym rozdziale omówimy, jak uzyskać funkcję transferu z modelu przestrzeni stanów.

Transfer funkcji z modelu przestrzeni stanów

Wiemy, że model przestrzeni stanów systemu liniowego niezmiennego w czasie (LTI) to -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Zastosuj transformatę Laplace'a po obu stronach równania stanu.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$

Zastosuj transformatę Laplace'a po obu stronach równania wyjściowego.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

Zastąp wartość X (s) w powyższym równaniu.

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

Powyższe równanie przedstawia funkcję przenoszenia systemu. Tak więc możemy obliczyć transmitancję systemu, używając tego wzoru dla systemu reprezentowanego w modelu przestrzeni stanów.

Note - Gdy $ D = [0] $, funkcja transferu będzie

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

Obliczmy transmitancję układu przedstawionego w modelu przestrzeni stanów jako,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Tutaj,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad i \ quad D = [0] $$

Wzór na funkcję transferu, gdy $ D = [0] $ wynosi -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Zastąp macierze A, B i C w powyższym równaniu.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 i 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Dlatego funkcja transferu systemu dla danego modelu przestrzeni stanów wynosi

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Macierz przejść stanów i jej właściwości

Jeśli system ma warunki początkowe, wygeneruje wynik. Ponieważ to wyjście jest obecne nawet w przypadku braku danych wejściowych, jest nazywanezero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Matematycznie możemy to zapisać jako:

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right] \} $$

Z powyższej zależności możemy zapisać macierz przejść stanów $ \ phi (t) $ jako

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

Zatem zerową odpowiedź wejściową można uzyskać mnożąc macierz przejścia stanów $ \ phi (t) $ przez macierz warunków początkowych.

Poniżej przedstawiono właściwości macierzy przejść stanów.

Jeśli $ t = 0 $, to macierz przejść stanów będzie równa macierzy tożsamości.

$$ \ phi (0) = I $$
Odwrotność macierzy przejść stanów będzie taka sama, jak macierzy przejść stanów, po prostu poprzez zastąpienie „t” przez „-t”.

$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Jeśli $ t = t_1 + t_2 $, to odpowiednia macierz przejść stanów jest równa pomnożeniu dwóch macierzy przejść stanów przy $ t = t_1 $ i $ t = t_2 $.

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

Sterowalność i obserwowalność

Omówmy teraz po kolei sterowalność i obserwowalność systemu sterowania.

Sterowalność

Mówi się, że jest to system kontroli controllable jeśli stany początkowe układu sterowania są przenoszone (zmieniane) do innych pożądanych stanów przez kontrolowane wejście w skończonym czasie.

Możemy sprawdzić sterowalność systemu sterowania za pomocą Kalman’s test.

Napisz macierz $ Q_c $ w następującej formie.

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Znajdź wyznacznik macierzy $ Q_c $ i jeśli nie jest równy zero, to system sterowania jest sterowalny.

Obserwowalność

Mówi się, że jest to system kontroli observable czy jest w stanie określić stany początkowe układu sterowania, obserwując wyjścia w skończonym czasie.

Obserwowalność systemu sterowania możemy sprawdzić za pomocą Kalman’s test.

Napisz macierz $ Q_o $ w następującej formie.

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ right] $$
Znajdź wyznacznik macierzy $ Q_o $ i jeśli nie jest równy zeru, to system sterowania jest obserwowalny.

Example

Zweryfikujmy sterowalność i obserwowalność systemu sterowania, który jest reprezentowany w modelu przestrzeni stanów jako,

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Tutaj,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad i \ quad n = 2 $$

Dla $ n = 2 $, macierz $ Q_c $ będzie

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

Otrzymamy iloczyn macierzy A i B jako,

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

Ponieważ wyznacznik macierzy $ Q_c $ nie jest równy zeru, dany system sterowania jest sterowalny.

Dla $ n = 2 $, macierz $ Q_o $ będzie wynosić -

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

Tutaj,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad and \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Otrzymamy iloczyn macierzy $ A ^ T $ i $ C ^ T $ as