Systemy sterowania - wykresy Nyquista
Wykresy Nyquista są kontynuacją wykresów biegunowych służących do znajdowania stabilności systemów sterowania w zamkniętej pętli poprzez zmianę ω od −∞ do ∞. Oznacza to, że wykresy Nyquista są używane do rysowania pełnej odpowiedzi częstotliwościowej funkcji przenoszenia w otwartej pętli.
Kryterium stabilności Nyquista
Kryterium stabilności Nyquista działa na principle of argument. Stwierdza, że jeśli istnieją bieguny P, a zera Z są zawarte w zamkniętej ścieżce płaszczyzny „s”, to odpowiadająca mu płaszczyzna $ G (s) H (s) $ musi krążyć razy początek $ P - Z $. Więc możemy zapisać liczbę okrążeń N jako,
$$ N = PZ $$
Jeśli zamknięta ścieżka zamkniętej płaszczyzny „s” zawiera tylko bieguny, wówczas kierunek okrążenia w płaszczyźnie $ G (s) H (s) $ będzie przeciwny do kierunku zamkniętej ścieżki zamkniętej w płaszczyźnie „s”.
Jeśli zamknięta ścieżka zamkniętej płaszczyzny „s” zawiera tylko zera, wówczas kierunek okrążenia na płaszczyźnie $ G (s) H (s) $ będzie taki sam jak kierunek zamkniętej ścieżki zamkniętej w płaszczyźnie „s” samolot.
Zastosujmy teraz zasadę argumentacji do całej prawej połowy płaszczyzny „s”, wybierając ją jako zamkniętą ścieżkę. Ta wybrana ścieżka nosi nazwęNyquist kontur.
Wiemy, że układ sterowania w pętli zamkniętej jest stabilny, jeśli wszystkie bieguny funkcji przenoszenia w pętli zamkniętej znajdują się w lewej połowie płaszczyzny „s”. Zatem bieguny funkcji przenoszenia w zamkniętej pętli są niczym innym jak pierwiastkami charakterystycznego równania. Wraz ze wzrostem kolejności charakterystycznego równania trudno jest znaleźć korzenie. Zatem skorelujmy te pierwiastki równania charakterystycznego w następujący sposób.
Bieguny charakterystycznego równania są takie same jak bieguny funkcji przenoszenia w otwartej pętli.
Zera w charakterystycznym równaniu są takie same, jak bieguny funkcji przenoszenia w zamkniętej pętli.
Wiemy, że układ sterowania w otwartej pętli jest stabilny, jeśli w prawej połowie płaszczyzny „s” nie ma bieguna otwartej pętli.
tj. $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $
Wiemy, że układ sterowania w pętli zamkniętej jest stabilny, jeśli w prawej połowie płaszczyzny „s” nie ma bieguna zamkniętej pętli.
tj. $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $
Nyquist stability criterionstwierdza, że liczba okrążeń wokół punktu krytycznego (1 + j0) musi być równa biegunom równania charakterystycznego, które są niczym innym jak biegunami funkcji przenoszenia w otwartej pętli w prawej połowie płaszczyzny „s”. Przesunięcie początku do (1 + j0) daje charakterystyczną płaszczyznę równania.
Zasady rysowania wykresów Nyquista
Postępuj zgodnie z tymi zasadami podczas kreślenia działek Nyquista.
Znajdź bieguny i zera funkcji przenoszenia w otwartej pętli $ G (s) H (s) $ w płaszczyźnie „s”.
Narysuj wykres biegunowy, zmieniając $ \ omega $ od zera do nieskończoności. Jeśli biegun lub zero występuje przy s = 0, to zmienianie $ \ omega $ od 0+ do nieskończoności w celu rysowania wykresu biegunowego.
Narysuj lustrzane odbicie powyższego wykresu biegunowego dla wartości $ \ omega $ w zakresie od −∞ do zera (0 - jeśli jakikolwiek biegun lub zero występuje przy s = 0).
Liczba półokręgów o nieskończonym promieniu będzie równa liczbie biegunów lub zer na początku. Półkole o nieskończonym promieniu rozpocznie się w punkcie, w którym kończy się lustrzane odbicie wykresu biegunowego. I to półkole o nieskończonym promieniu zakończy się w punkcie, w którym zaczyna się wykres biegunowy.
Po narysowaniu wykresu Nyquista możemy znaleźć stabilność systemu sterowania w pętli zamkniętej, korzystając z kryterium stabilności Nyquista. Jeśli punkt krytyczny (-1 + j0) leży poza okrążeniem, wówczas układ sterowania w pętli zamkniętej jest całkowicie stabilny.
Analiza stabilności z wykorzystaniem wykresów Nyquista
Na podstawie wykresów Nyquista możemy na podstawie wartości tych parametrów określić, czy system sterowania jest stabilny, marginalnie stabilny czy niestabilny.
- Zyskaj częstotliwość podziału i częstotliwość przejścia fazowego
- Zyskaj margines i margines fazy
Częstotliwość przejścia fazowego
Częstotliwość, z jaką wykres Nyquista przecina ujemną oś rzeczywistą (kąt fazowy wynosi 180 0 ) jest znana jakophase cross over frequency. Jest oznaczony przez $ \ omega_ {pc} $.
Zyskaj częstotliwość zwrotnicy
Częstotliwość, z jaką wykres Nyquista ma wielkość jeden, jest znana jako gain cross over frequency. Jest oznaczony przez $ \ omega_ {gc} $.
Stabilność układu sterowania w oparciu o zależność między częstotliwością przecięcia faz i częstotliwością graniczną wzmocnienia jest wymieniona poniżej.
Jeśli częstotliwość przejścia fazowego $ \ omega_ {pc} $ jest większa niż częstotliwość przejścia fazowego $ \ omega_ {gc} $, to system sterowania jest stable.
Jeśli częstotliwość przejścia fazowego $ \ omega_ {pc} $ jest równa częstotliwości przejścia fazowego $ \ omega_ {gc} $, to system sterowania jest marginally stable.
Jeśli częstotliwość skrzyżowania faz $ \ omega_ {pc} $ jest mniejsza niż częstotliwość przejścia fazowego $ \ omega_ {gc} $, to system sterowania jest unstable.
Zyskaj marżę
Margines wzmocnienia $ GM $ jest równy odwrotności wielkości wykresu Nyquista przy częstotliwości skrzyżowania faz.
$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$
Gdzie $ M_ {pc} $ jest wielkością w normalnej skali przy częstotliwości skrzyżowania faz.
Margines fazy
Margines fazowy $ PM $ jest równy sumie 180 0 i kąta fazowego przy częstotliwości przecięcia wzmocnienia.
$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$
Gdzie, $ \ phi_ {gc} $ jest kątem fazowym przy częstotliwości przecięcia wzmocnienia.
Stabilność układu sterowania opartego na relacji między marginesem wzmocnienia i marginesem fazy jest przedstawiona poniżej.
Jeżeli margines zysku $ GM $ jest większy niż jeden, a margines fazy $ PM $ jest dodatni, to system kontroli jest stable.
Jeżeli margines wzmocnienia $ GM $ jest równy jeden, a margines fazy $ PM $ wynosi zero stopni, to system sterowania jest marginally stable.
Jeżeli margines zysku $ GM $ jest mniejszy niż jeden i / lub margines fazy $ PM $ jest ujemny, to system kontroli jest unstable.