Konstrukcja miejsca korzeni
Plik root locusjest graficzną reprezentacją w dziedzinie s i jest symetryczna względem osi rzeczywistej. Ponieważ bieguny i zera w otwartej pętli istnieją w domenie s, mając wartości albo jako rzeczywiste, albo jako złożone pary sprzężone. W tym rozdziale omówimy, jak skonstruować (narysować) miejsce źródłowe.
Zasady konstruowania miejsca korzeni
Postępuj zgodnie z tymi regułami podczas konstruowania miejsca głównego.
Rule 1 - Znajdź bieguny otwartej pętli i zera na płaszczyźnie „s”.
Rule 2 - Znajdź liczbę gałęzi locus root.
Wiemy, że rozgałęzienia locus korzeni zaczynają się na biegunach otwartej pętli i kończą na zerach w otwartej pętli. A więc liczba gałęzi locus rootN jest równa liczbie skończonych biegunów otwartej pętli P lub liczba skończonych zer w otwartej pętli Z, którykolwiek jest większy.
Matematycznie możemy zapisać liczbę gałęzi locus root N tak jak
$ N = P $, jeśli $ P \ geq Z $
$ N = Z $ jeśli $ P <Z $
Rule 3 - Zidentyfikuj i narysuj real axis root locus branches.
Jeśli kąt funkcji przenoszenia w otwartej pętli w punkcie jest nieparzystą wielokrotnością 180 0 , to ten punkt znajduje się w głównym miejscu. Jeśli nieparzysta liczba biegunów otwartej pętli i zer istnieje po lewej stronie punktu na rzeczywistej osi, to punkt ten znajduje się na gałęzi miejsca źródłowego. Dlatego gałąź punktów, która spełnia ten warunek, jest rzeczywistą osią gałęzi miejsca źródłowego.
Rule 4 - Znajdź środek ciężkości i kąt asymptot.
Jeśli $ P = Z $, to wszystkie gałęzie miejsca głównego zaczynają się od skończonych biegunów otwartej pętli i kończą się skończonymi zerami otwartej pętli.
Jeśli $ P> Z $, to $ Z $ liczba gałęzi locus rdzenia zaczyna się na skończonych biegunach otwartej pętli i kończy na skończonych zerach otwartej pętli i $ P - Z $ liczba gałęzi locus rdzenia zaczyna się na skończonych biegunach otwartej pętli i kończy na nieskończoności zera w otwartej pętli.
Jeśli $ P <Z $, to liczba P gałęzi locus źródłowych zaczyna się na skończonych biegunach otwartej pętli i kończy na skończonych zerach otwartej pętli i $ Z - P $ liczba gałęzi locus root zaczyna się na nieskończonych biegunach otwartej pętli i kończy na skończonej otwartej pętli zera.
Tak więc niektóre z gałęzi locus root zbliżają się do nieskończoności, gdy $ P \ neq Z $. Asymptoty podają kierunek tych gałęzi locus korzeni. Punkt przecięcia asymptot na rzeczywistej osi jest znany jakocentroid.
Możemy obliczyć centroid α używając tej formuły,
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: część \: z \: skończona \: otwarta \: pętla \: bieguny \: - \ suma rzeczywista \: część \: z \: skończona \: otwarta \: pętla \ : zera} {PZ} $
Wzór na kąt asymptotes θ jest
$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$
Gdzie,
$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$
Rule 5 - Znajdź punkty przecięcia gałęzi miejsca korzeni z wyimaginowaną osią.
Możemy obliczyć punkt, w którym gałąź miejsca źródłowego przecina wyimaginowaną oś i wartość K w tym momencie przy użyciu metody tablicy Routh i specjalnego case (ii).
Jeśli wszystkie elementy dowolnego wiersza tablicy Routh są równe zero, to gałąź miejsca głównego przecina wyimaginowaną oś i odwrotnie.
Zidentyfikuj wiersz w taki sposób, że jeśli jako pierwszy ustawimy zero, to elementy całego wiersza będą równe zero. Znajdź wartośćK dla tej kombinacji.
Zastąp to Kwartość w równaniu pomocniczym. Otrzymasz punkt przecięcia gałęzi miejsca głównego z wyimaginowaną osią.
Rule 6 - Znajdź punkty ucieczki i włamania.
Jeśli istnieje prawdziwe rozgałęzienie miejsca głównego osi między dwoma biegunami otwartej pętli, to będzie break-away point pomiędzy tymi dwoma biegunami otwartej pętli.
Jeśli istnieje prawdziwa gałąź lokusu głównego osi między dwoma zerami otwartej pętli, to będzie break-in point pomiędzy tymi dwoma zerami otwartej pętli.
Note - Punkty oderwania i załamania istnieją tylko na rzeczywistych odgałęzieniach miejsca głównego osi.
Wykonaj poniższe czynności, aby znaleźć punkty ucieczki i włamania.
Zapisz $ K $ jako $ s $ z charakterystycznego równania $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.
Zróżnicuj $ K $ względem s i zrób z niego zero. Zastąp te wartości $ s $ w powyższym równaniu.
Wartości $ s $, dla których wartość $ K $ jest dodatnia, to break points.
Rule 7 - Znajdź kąt odlotu i kąt przybycia.
Kąt wyjścia i kąt dotarcia można obliczyć odpowiednio dla złożonych sprzężonych biegunów otwartej pętli i złożonych sprzężonych zer w otwartej pętli.
Wzór na angle of departure $ \ phi_d $ to
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
Wzór na angle of arrival $ \ phi_a $ to
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
Gdzie,
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
Przykład
Narysujmy teraz miejsce źródłowe systemu sterowania posiadającego funkcję przenoszenia w otwartej pętli, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $
Step 1- Podana funkcja przenoszenia w otwartej pętli ma trzy bieguny przy $ s = 0, s = −1 $ i $ s = −5 $. Nie ma żadnego zera. Dlatego liczba rozgałęzień locus korzeni jest równa liczbie biegunów funkcji przenoszenia w otwartej pętli.
$$ N = P = 3 $$
Na powyższym rysunku znajdują się trzy bieguny. Odcinek linii między $ s = −1 $ a $ s = 0 $ jest jedną gałęzią miejsca głównego na osi rzeczywistej. Drugą gałęzią miejsca głównego na osi rzeczywistej jest odcinek linii na lewo od $ s = −5 $.
Step 2 - Otrzymamy wartości środka ciężkości i kąta asymptot za pomocą podanych wzorów.
Centroid $ \ alpha = −2 $
Kąt asymptot wynosi $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ i $ 300 ^ 0 $.
Na poniższym rysunku pokazano centroidę i trzy asymptoty.
Step 3- Ponieważ dwie asymptoty mają kąty 60 ^ 0 $ i 300 ^ 0 $, dwie gałęzie miejsca głównego przecinają urojoną oś. Używając metody tablicowej Routha i specjalnego przypadku (ii), rozgałęzienia miejsca głównego przecinają wyimaginowaną oś w $ j \ sqrt {5} $ i $ −j \ sqrt {5} $.
Będzie jeden punkt przerwania na gałęzi rzeczywistego miejsca głównego osi między biegunami $ s = −1 $ i $ s = 0 $. Postępując zgodnie z procedurą podaną dla obliczenia punktu oderwania, otrzymamy go jako $ s = −0,473 $.
Diagram pierwotnych miejsc dla danego systemu sterowania przedstawiono na poniższym rysunku.
W ten sposób można narysować diagram lokalizacji źródła dowolnego systemu sterowania i obserwować ruch biegunów funkcji przenoszenia w pętli zamkniętej.
Z diagramów lokalizacji źródłowych możemy poznać zakres wartości K dla różnych typów tłumienia.
Efekty dodania biegunów i zer otwartej pętli na lokalizację źródła
Miejsce korzenia można przesunąć ‘s’ plane dodając bieguny otwartej pętli i zera otwartej pętli.
Jeśli włączymy biegun w funkcję przenoszenia w otwartej pętli, to niektóre gałęzie miejsca korzeni przesuną się w kierunku prawej połowy płaszczyzny „s”. Z tego powodu współczynnik tłumienia $ \ delta $ maleje. Oznacza to, że tłumiona częstotliwość $ \ omega_d $ wzrasta, a specyfikacje w dziedzinie czasu, takie jak czas opóźnienia $ t_d $, czas narastania $ t_r $ i czas szczytu $ t_p $ zmniejszają się. Ale wpływa to na stabilność systemu.
Jeśli włączymy zero do funkcji przenoszenia w otwartej pętli, to niektóre gałęzie locus korzeni przesuną się w kierunku lewej połowy płaszczyzny „s”. Zwiększy to więc stabilność systemu sterowania. W tym przypadku współczynnik tłumienia $ \ delta $ wzrasta. Co oznacza, że tłumiona częstotliwość $ \ omega_d $ spada, a specyfikacje w dziedzinie czasu, takie jak czas opóźnienia $ t_d $, czas narastania $ t_r $ i czas szczytu $ t_p $, rosną.
Tak więc, w oparciu o wymaganie, możemy dołączyć (dodać) bieguny lub zera otwartej pętli do funkcji transferu.