Căn bậc hai của ma trận.

Question

làm thế nào tôi có thể tìm thấy một ma trận A sao cho $B=A^3$ Ở đâu $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

Tôi đã thử nó hoạt động dựa trên đa thức đặc trưng của $A$, nhưng cho rằng nó $f(t)=(8-t)^3$ thì giá trị riêng duy nhất của $B$ là 8. Điều tôi muốn làm là viết $B=QDQ^{-1}$ Ở đâu $D$là ma trận đường chéo nhưng tôi không thể. Tôi đã biết điều đó$A$ phải bằng $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$.

Bất kỳ sự kiện?

Answer 1

Đây là một cách tiếp cận khép kín tốt đẹp. Để cho$I$ biểu thị ma trận nhận dạng và viết $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ Ma trận của bạn là $$ B = 8I + 12 N. $$ Tôi khẳng định (như một "phỏng đoán") rằng căn bậc hai của ma trận này có thể được viết dưới dạng $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ Cần lưu ý rằng $N^3 = 0$, chúng tôi mở rộng $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ để có được $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ Bây giờ nó đủ để giải quyết hệ thống $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$