Проблема Сильвестра.
Конечное множество $S$точек на плоскости обладает тем свойством, что прямая, проходящая через две из этих точек, проходит через третью точку. Докажите, что все точки в$S$ коллинеарны.
Я видел доказательство этой проблемы с использованием экстремального принципа.
Предположим, что точки не коллинеарны. Среди пар$(p,L)$ состоящий из строки $L$ и точку не на этой линии, мы выбираем такую, которая минимизирует расстояние $d$ из $p$ к $L$. Позволять$f$ быть основанием перпендикуляра от $p$ к $L$. Имеется (по предположению) не менее трех точек$a,b,c$ на $L$. Это, двое из них, говорят$a$ и $b$ находятся на одной стороне $f$. Позволять$b $ быть ближе к $f$ чем $a$. Тогда расстояние от$b$ ровняться $ap$ меньше чем $d$. Противоречие.
Мой вопрос в последней части. Я не понимаю, как "Тогда расстояние от$b$ ровняться $ap$ меньше чем $d$. "приводит к противоречию. Может кто-нибудь объяснить?
Ответы
В начале доказательства мы выбрали $(p,L)$ такое, что расстояние $d$ между $p$ и $L$ минимален среди всех линий и точек не на этой линии.
Противоречие возникает, когда мы получили пару $(b, ap)$ с расстоянием меньше чем $d$, что противоречит условию минимальности на $(p,L)$.
«Геометрия» может быть тегом.
РЕДАКТИРОВАТЬ: почему $b$ ближе к $ap$ чем $p$ должен $L$, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle afp$.
$b$ на стороне $af$. Его расстояние от линии$ap$ не может превышать высоту $\triangle afp$ с базой $ap$.
поскольку $ap$ это гипотенуза, $ap > af$.
Учитывая площадь $\triangle afp$, видим, что высота $\triangle afp$ с базой $ap$ меньше высоты $\triangle afp$ с базой $af$, который $fp = d$.
Это дает желаемый результат: расстояние $b$ из $ap$ меньше чем $d$.
Для наглядного объяснения того, почему расстояние от $B$ к $AP$меньше, вот иллюстрация. Я выделил все названия точек с заглавной буквы и добавил$G$ и $H$, которые являются основаниями перпендикуляров от $B$ и $F$ ровняться $AP$соответственно. Должно быть ясно, что$PF > FH > BG$. Формальное доказательство использует аналогичные треугольники и пропорции.
