디지털 신호 처리-DFT 소개

연속 시간 신호 푸리에 변환과 마찬가지로 이산 시간 푸리에 변환은 이산 시퀀스를 등가 주파수 도메인 표현 및 LTI 이산 시간 시스템으로 표현하고 다양한 계산 알고리즘을 개발하는 데 사용할 수 있습니다.

연속 FT에서 X (jω)는 x (n)의 연속 함수입니다. 그러나 DFT는 스펙트럼 X (ω)의 샘플로 x (n)을 나타내는 것을 다룹니다. 따라서이 수학적 도구는 편리한 표현에서 계산적으로 매우 중요합니다. 이 도구를 통해 주기적 및 비 주기적 시퀀스를 모두 처리 할 수 있습니다. 주기를 무한대로 확장하여 주기적 시퀀스를 샘플링해야합니다.

주파수 영역 샘플링

도입부에서 주파수 영역 샘플링 즉, X (ω) 샘플링을 진행하는 방법을 알아야한다는 것이 분명합니다. 따라서 샘플링 된 푸리에 변환과 DFT의 관계는 다음과 같이 성립됩니다.

마찬가지로주기 N을 무한대로 확장하여 주기적 시퀀스를이 도구에 맞출 수 있습니다.

비 주기적 시퀀스를 $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $로 지정합니다.

푸리에 변환을 정의하면

$ X (\ omega) = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {-jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

여기서 X (ω)는 δω 라디안 간격마다 주기적으로 샘플링됩니다.

X (ω)는 2π 라디안으로 주기적이므로 기본 범위의 샘플 만 필요합니다. 샘플은 주파수 범위 0≤ω≤2π에서 등거리 간격 후에 채취됩니다. 등가 간격 사이의 간격은 $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ 라디안입니다.

이제 $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ 평가 중

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {-j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

여기서 k = 0,1, …… N-1

위를 세분하고 합산 순서를 바꾼 후

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l =-\ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {-j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad 시리즈 \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

여기서, n = 0,1,… .., N-1; 'p'- 주기적 개체 또는 기능을 나타냅니다.

푸리에 계수는 다음과 같습니다.

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {-j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

방정식 3과 4를 비교하면 다음과 같습니다.

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

푸리에 급수 확장에서

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

여기서 n = 0,1,…, N-1

여기서 우리는 X (ω)로부터주기적인 신호를 얻었습니다. $ x (n) $는 시간 도메인에 앨리어싱이없는 경우 $ x_p (n) $에서만 추출 할 수 있습니다. $ N \ geq L $

N = $ x_p (n) $ 기간 L = $ x (n) $ 기간

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, 그렇지 않으면 \ end {cases} $

이러한 방식으로 매핑이 이루어집니다.

DFT의 특성

선형성

신호 조합의 DFT는 개별 신호의 DFT 합계와 같습니다. DFT가 각각 X ₁ (ω) 및 X ₂ (ω) 인 두 개의 신호 x ₁ (n) 및 x ₂ (n)을 취해 보겠습니다 . 그래서 만약

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ 및 $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

그런 다음 $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

어디 a 과 b 상수입니다.

대칭

DFT의 대칭 속성은 DTFT 대칭 속성을 도출 한 것과 유사한 방식으로 도출 할 수 있습니다. 시퀀스 x (n)의 DFT가 X (K)로 표시된다는 것을 알고 있습니다. 이제 x (n)과 X (K)가 복소수 시퀀스이면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

그리고 $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

이중성 속성

DFT가 X (K)로 제공되는 신호 x (n)을 고려해 보겠습니다. 유한 지속 시간 시퀀스를 X (N)이라고합니다. 그런 다음 이중성 정리에 따르면

만약, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

그런 다음 $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((-k)) _ N] $

따라서 DFT를 알고 있다면이 정리를 사용하여 유한 지속 시간 시퀀스를 쉽게 찾을 수 있습니다.

복합 켤레 속성

DFT가 X (K)라고도하는 신호 x (n)이 있다고 가정합니다. 이제 신호의 복소 켤레가 x * (n)로 주어지면 아래에 표시된 정리를 사용하여 많은 계산을하지 않고도 DFT를 쉽게 찾을 수 있습니다.

만약, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

그러면 $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

원형 주파수 편이

시퀀스 x (n)과 복합 지수 시퀀스 $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $의 곱셈은 주파수에서 L 단위에 의한 DFT의 순환 이동과 같습니다. 이것은 순환 시간 이동 속성의 이중입니다.

만약, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

그런 다음 $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

두 시퀀스의 곱셈

두 개의 신호 x ₁ (n) 및 x ₂ (n)이 있고 각각의 DFT가 X ₁ (k) 및 X ₂ (K) 인 경우 시간 시퀀스의 신호 곱셈은 DFT의 원형 컨볼 루션에 해당합니다.

, 만약 $ X_1 (N) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ 쿼드 \ & \ 쿼드 X_2 (N) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

파스 발의 정리

복잡한 값 시퀀스 x (n) 및 y (n)의 경우 일반적으로

If, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

그러면 $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $