DSP-Z 변환 존재
시스템 기능이있는 시스템은 모든 극이 단위 원 안에있을 때만 안정적 일 수 있습니다. 먼저 시스템이 인과 관계인지 확인합니다. 시스템이 Causal이면 BIBO 안정성 결정을 수행합니다. 여기서 BIBO 안정성은 제한된 출력 조건에 대한 제한된 입력을 나타냅니다.
이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$ Mod (X (Z)) <\ infty $
$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {-n}) <\ infty $
$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {-n}) <\ infty $
$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {-n}] <0 $
$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {-n}] Mod [e ^ {-jwn}] <\ infty $
$ = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {-n}] <\ infty $
위의 방정식은 Z- 변환의 존재 조건을 보여줍니다.
그러나 DTFT 신호의 존재 조건은 다음과 같습니다.
$$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$예 1
다음과 같이 주어진 신호의 Z 변환을 찾아 보겠습니다.
$ x (n) =-(-0.5) ^ {-n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $
$ =-(-2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $
Solution − 여기서 $-(-2) ^ nu (n) $의 경우 ROC는 왼쪽이고 Z <2입니다.
$ 3 ^ nu (n) $ ROC는 오른쪽이고 Z> 3입니다.
따라서 여기서 공통 영역이 없기 때문에 신호의 Z 변환이 존재하지 않습니다.
예 2
다음과 같이 주어진 신호의 Z 변환을 찾아 보겠습니다.
$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0.5) ^ nu (n) $
Solution − 여기서 $ -2 ^ nu (-n-1) $ 신호의 ROC는 왼쪽이고 Z <2입니다.
$ (0.5) ^ nu (n) $ 신호의 경우 ROC는 오른쪽이고 Z> 0.5입니다.
따라서 공통 ROC는 0.5 <Z <2로 형성됩니다.
따라서 Z- 변환은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {-1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {-1}} \ rbrace $
예제 3
$ x (n) = 2 ^ {r (n)} $로 주어지는 신호의 Z- 변환을 알아 봅시다.
Solution− r (n)은 램프 신호입니다. 따라서 신호는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ l 중괄호 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad and \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $
$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $
여기서 $ u (-n-1) $ 및 ROC Z <1 신호 및 ROC가있는 $ 2 ^ nu (n) $ 신호의 경우 Z> 2입니다.
따라서 신호의 Z 변환은 존재하지 않습니다.
인과 계에 대한 Z 변환
인과 계는 $ h (n) = 0, n <0 $로 정의 할 수 있습니다. 인과 시스템의 경우 ROC는 Z 평면에서 원 밖에 있습니다.
$ H (Z) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {-n} $
위의 방정식을 확장하면,
$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {-1} + h (2) Z ^ {-2} + ... \ quad ... \ quad ... $
$ = N (Z) / D (Z) $
인과 계의 경우 전달 함수 확장에는 Z의 양의 거듭 제곱이 포함되지 않습니다. 인과 계의 경우 분자의 순서가 분모의 순서를 초과 할 수 없습니다. 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad 또는 \ quad Finite $
인과 계의 안정성을 위해 전달 함수의 극점은 Z면의 단위 원 안에 있어야합니다.
반인과 시스템을위한 Z 변환
반인과 시스템은 $ h (n) = 0, n \ geq 0 $로 정의 할 수 있습니다. 안티 인과 시스템의 경우 전달 함수의 극점은 Z 평면에서 단위 원 밖에 있어야합니다. 반인과 시스템의 경우 ROC는 Z 평면의 원 안에 있습니다.