DSP-DFT 시간 주파수 변환

$ \ omega = 2 \ pi K / N $ 및 $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $는 연속 변수가되고 합산 한계는 $-\ infty $가 $ + \ infty $가됩니다.

따라서,

$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {-j \ omega n} $$

이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)

$ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {-j \ omega n} $

여기서 $ X (e ^ {j \ omega}) $는 ω에서 2π 주기로 연속적이고 주기적입니다. … eq (1)

지금,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … 푸리에 시리즈에서

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

ω는 연속적이되고 $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $가됩니다.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … eq (2)

역 이산 시간 푸리에 변환

상징적으로

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (푸리에 변환 쌍)

비 주기적 시퀀스 x (n)에 대한 이산 시간 푸리에 변환의 존재에 필요하고 충분한 조건은 절대적으로 합산 할 수 있습니다.

ie $ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

DTFT의 특성

  • Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Time shifting$ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {-j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

  • Time Reversal$ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {-j \ omega}) $

  • Frequency shifting$ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega-\ omega _0)}) $

  • Differentiation frequency domain$ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

  • Convolution$ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Multiplication$ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Co-relation$ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Modulation theorem$ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

  • Symmetry$ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {-j \ omega}) $;

    $ x ^ * (-n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ x_ {even} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;

    $ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

  • Parseval’s theorem$ \ sum _ {-\ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

앞서 우리는 주파수 영역에서 샘플링을 연구했습니다. 이러한 기본 지식을 바탕으로 주파수 영역에서 $ X (e ^ {j \ omega}) $를 샘플링하여 샘플링 된 데이터에서 편리한 디지털 분석을 수행 할 수 있습니다. 따라서 DFT는 시간 및 주파수 도메인 모두에서 샘플링됩니다. 가정 $ x (n) = x_p (n) $

따라서 DFT는-

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {-\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N−1 … eq (3)

그리고 IDFT는-

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N−1 … eq (4)

$ \ 따라서 x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

트위들 팩터

$ W_N $로 표시되고 $ W_N = e ^ {-j2 \ pi / N} $로 정의됩니다. 그 크기는 항상 단일로 유지됩니다. $ W_N 단계 = -2 \ pi / N $. 단위 원의 벡터이며 계산 편의를 위해 사용됩니다. 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

  • r과 기간 N의 함수입니다.

    N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,…을 고려하십시오.

    $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $

  • $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

선형 변환

선형 변환을 이해합시다-

우리는 알고 있습니다.

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N−1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {-nk}; \ quad n = 0,1,…., N−1 $

Note− DFT 계산은 N 2 복소 곱셈과 N (N-1) 복소 덧셈 으로 수행 할 수 있습니다 .

  • $ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ 쿼드 신호 \ quad x_N $

  • $ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ 쿼드 신호 \ quad X_N $

  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

    N-행렬 항의 DFT 점은 다음과 같습니다.-$ X_N = W_Nx_N $

    $ W_N \ longmapsto $ 선형 변환 행렬

    $ 현재, \ quad x_N = W_N ^ {-1} X_N $

    매트릭스 형식의 IDFT는 다음과 같이 제공됩니다.

    $$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

    $ x_N, \ quad W_N ^ {-1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ 및 $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $의 두 표현식 비교

    따라서 $ W_N $은 직교 (단일) 행렬 인 선형 변환 행렬입니다.

    $ W_N $의 주기적 속성과 대칭 속성으로부터 $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

    원형 대칭

    길이 N≤L의 유한 기간 x (n)의 N- 포인트 DFT는 x (n)의 주기적 확장의 N- 포인트 DFT, 즉 기간 N의 $ x_p (n) $ 및 $ x_p ( n) = \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. 이제, 주기적 시퀀스 인 시퀀스를 k 단위만큼 오른쪽으로 이동하면 다른 주기적 시퀀스가 ​​얻어집니다. 이것은 순환 이동으로 알려져 있으며 이것은 다음과 같이 주어집니다.

    $$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

    새로운 유한 시퀀스는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

    $$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & 그렇지 않으면 \ end {cases} $$

    Example − x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

    $ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ 쿼드 시프트 \ 쿼드 및 \ 쿼드 N = 4, $

    시계 방향을 양의 방향으로 가정합니다.

    우리는 $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $를 얻었습니다.

    $ x \ prime (0) = x ((-2)) _ 4 = x (2) = 4 $

    $ x \ prime (1) = x ((-1)) _ 4 = x (3) = 3 $

    $ x \ prime (2) = x ((-2)) _ 4 = x (0) = 1 $

    $ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

    Conclusion − N- 포인트 시퀀스의 원형 이동은 주기적 확장의 선형 이동과 동일하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

    원형 짝수 시퀀스 − $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

    짝수 켤레$ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

    원형 홀수 시퀀스 − $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

    켤레 홀수 − $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

    이제 $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, 여기서,

    $ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

    $ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

    모든 실수 신호 x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

    $ X_R (k) = X_R (Nk) $

    $ X_l (k) = -X_l (Nk) $

    $ \ 각도 X (k) =-\ 각도 X (북한) $

    Time reversal− 0 번째 샘플에 대한 반전 샘플 . 이것은 다음과 같이 주어집니다.

    $ x ((-n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

    시간 반전은 시계 방향, 즉 음의 방향으로 시퀀스 샘플을 플로팅합니다.

    기타 중요한 속성

    기타 중요한 IDFT 속성 $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

    • Time reversal − $ x ((-n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((-k)) _ N = X (Nk) $

    • Circular time shift − $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

    • Circular frequency shift − $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

    • Complex conjugate properties

      $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((-k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad and $

      $ x ^ * ((-n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (-k) $

    • Multiplication of two sequence

      $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad 및 \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

      $ \ 따라서 x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

    • Circular convolution − 두 DFT의 곱셈

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

    • Circular correlation − $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ 및 $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $이면 $ \ bar와 같은 $ \ bar Y_ {xy} $로 표시된 교차 상관 시퀀스가 ​​있습니다. Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

    • Parseval’s Theorem − $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ 및 $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

      $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $