DSP-Z- 변환 역
이미 주파수 영역에서 이산 시간 신호로 표현 된 시스템을 분석하려면 Inverse Z- 변환으로 이동합니다.
수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ x (n) = Z ^ {-1} X (Z) $$여기서 x (n)은 시간 도메인의 신호이고 X (Z)는 주파수 도메인의 신호입니다.
위의 방정식을 적분 형식으로 표현하려면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {-1} dz $$여기서 적분은 닫힌 경로 C 위에 있습니다.이 경로는 x (z)의 ROC 내에 있으며 원점을 포함합니다.
역 Z- 변환을 찾는 방법
이산 형식으로 분석이 필요한 경우 역 Z- 변환을 통해 주파수 도메인 신호를 다시 이산 형식으로 변환합니다. 역 Z 변환을 결정하기 위해 다음 네 가지 방법을 따릅니다.
- 긴 나누기 방법
- 부분 분수 확장 방법
- 잔류 또는 윤곽 적분 방법
긴 나누기 방법
이 방법에서 신호 x (z)의 Z 변환은 다음과 같이 다항식의 비율로 표현 될 수 있습니다.
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$이제 분자를 분모로 계속 나누면 아래와 같은 시리즈를 얻게됩니다.
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {-1} + x (2) Z ^ {-2} + ... \ quad ... \ quad ... $$위의 시퀀스는 주어진 신호 (n≥0 인 경우)의 일련의 역 Z 변환을 나타내며 위 시스템은 인과 관계입니다.
그러나 n <0의 경우 시리즈는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$부분 분수 확장 방법
여기서도 신호는 N (z) / D (z) 형식으로 먼저 표현됩니다.
유리수이면 다음과 같이 표시됩니다.
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {-1} + b_2Z ^ {-2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {-m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {-2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {-N}) $
위의 것은 m <n이고 an ≠ 0 일 때 부적절합니다.
비율이 적절하지 않은 경우 (즉, 부적절),이를 해결하기 위해 적절한 형식으로 변환해야합니다.
잔류 물 또는 윤곽 적분법
이 방법에서는 모든 극점에서 $ [x (z) Z ^ {n-1}] $의 잔류 물을 합산하여 역 Z 변환 x (n)을 얻습니다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {all \ quad poles \ quad X (z)} 잔여 \ quad of [x (z) Z ^ {n-1}] $$여기서 $ z = \ beta $에서 차수 m의 극점에 대한 잔류는 다음과 같습니다.
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$