DSP-Z 변환 해결 예

예 1

모든 초기 조건이 0 일 때 시스템 $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $의 응답을 찾습니다.

Solution − 위 방정식의 양쪽에서 Z- 변환을 취하면

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ 오른쪽 화살표 S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ 오른쪽 화살표 S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ 오른쪽 화살표 S (z) = \ frac {1} {z-2}-\ frac {1} {z-1} $

위 방정식의 역 Z 변환을 취하면

$ S (n) = Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-2}]-Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

차분 방정식이 다음과 같이 설명되는 시스템의 시스템 함수 H (z) 및 단위 표본 응답 h (n)을 구합니다.

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

여기서 y (n) 및 x (n)은 각각 시스템의 출력 및 입력입니다.

Solution − 위의 미분 방정식의 Z 변환을 취하면

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {-1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

이 시스템은 $ Z = \ frac {1} {2} $ 및 $ Z = 0 $ 및 $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^에 극점이 있습니다. {-1}]} $

따라서 위의 역 Z 변환을 취하면

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

다음과 같은 경우 Y (z), n≥0 결정 −

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1)-\ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad given \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution − 위의 방정식에 Z 변환을 적용하면

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {-1} Y (Z) + Y (-1)]-\ frac {1} {4} [Z ^ {-2} Y ( Z) + Z ^ {-1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2}-\ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z)-\ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z}-\ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {2} $

$ \ 오른쪽 화살표 Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ 오른쪽 화살표 Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $