Equação de Cônicas
A equação geral da seção cônica é: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$, Onde $$\Delta=\begin{vmatrix}a&h&g\\h&b&f \\g&f &c\\ \end{vmatrix}$$Esta equação também pode ser analisada para distinguir se é uma equação de par de retas, parábola, elipse ou hipérbole .
- E se $\Delta=0$ e $h^2=ab$, representa um par de linhas retas
- E se $\Delta \neq 0$ e $h^2=ab$, representa uma parábola
- E se $\Delta \neq 0$ e $h^2<ab$, representa uma elipse
- E se $\Delta\neq 0$ e $h^2>ab$, representa uma hipérbole
Então minha pergunta é
Você pode representar uma prova de por que essas relações são para formas diferentes?
Eu preferiria uma abordagem mais analítica / geométrica
Respostas
Essa resposta se baseará no fato de que qualquer seção plana de um cone elíptico direito também é uma seção plana de um cone circular direito. Este fato pode ser justificado pela aplicação de uma transformação afim que dilata o cone apenas na direção do eixo menor da base elíptica para transformar a base em um círculo, desde que também tenha sido demonstrado que a transformação afim de uma cônica seção é uma seção cônica do mesmo tipo. (Consulte também a pergunta: e se tivermos um cone com base elíptica? ).
Também classificarei um círculo como um caso especial de elipse, para que possa escrever simplesmente "uma elipse" em vez de "uma elipse ou um círculo".
Observe que se
$$ M = \begin{pmatrix} a&h&g \\ h&b&f \\ g&f&c \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad \mathbf x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} $$
então $\Delta$ é o determinante de $M$. Além disso,$\mathbf x^\top M \mathbf x$ (onde o sobrescrito $^\top$ denota a transposição) é um polinômio quadrático homogêneo, \begin{align} \mathbf x^\top M \mathbf x &= \begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&h&g \\ h&b&f \\ g&f&c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \\ &= ax^2+2hxy+by^2+2gxz+2fyz+cz^2. \end{align}
Se definirmos simultaneamente $\mathbf x^\top M \mathbf x = 0$ e $z = 1,$ nós pegamos a equação $$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c = 0, \tag1 $$ mas também obtemos a interseção da figura tridimensional que satisfaz a equação $$ \mathbf x^\top M \mathbf x = 0 \tag2 $$ com o avião $z = 1.$
Uma matriz simétrica real $M$ sempre pode ser diagonalizado, ou seja, pode ser expresso como um produto da forma $R^\top DR$ Onde $R$ é uma matriz ortogonal e $D$é uma matriz diagonal. Então Equação$(2)$ pode ser reescrito
$$ 0 = \mathbf x^\top R^\top DR \mathbf x = (R\mathbf x)^\top D (R \mathbf x). \tag3 $$
Observe aquilo $R\mathbf x$ é apenas uma rotação do vetor $\mathbf x$. Deixe as coordenadas de$R\mathbf x$ e as entradas de $D$ estar $$ R\mathbf x = \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad D = \begin{pmatrix} a'&0&0 \\ 0&b'&0 \\ 0&0&c' \end{pmatrix}. $$
Equação $(3)$ então é equivalente a
$$ a' x'^2 + b' y'^2 + c' z'^2 = 0. \tag4 $$
Observe que $\Delta \neq 0$ se e somente $M$ é invertível, o que é verdadeiro se e somente se $a',$ $b',$ e $c'$ são todos diferentes de zero.
Vamos considerar primeiro o caso $\Delta \neq 0$.
E se $a',$ $b',$ e $c'$ são todos diferentes de zero e todos têm o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos), então a única solução da Equação $(4)$ é $x' = y' = z' = 0,$ isso é, $R\mathbf x = 0.$ Mas porque $R\mathbf x$ é uma rotação de $\mathbf x,$ isso implica $\mathbf x = 0,$ em particular, $z = 0,$ então Equação $(1)$ não tem solução.
E se $a',$ $b',$ e $c'$ são todos diferentes de zero, mas nem todos têm o mesmo sinal, pelo menos um dos $a',$ $b',$ e $c'$é positivo e pelo menos um é negativo. Nesse caso, a superfície descrita pela Equação$(4)$ é um cone elíptico duplo infinito à direita com seu eixo alinhado com um dos eixos girados ($x',$ $y',$ ou $z'$) Dependendo da forma do cone e da rotação dos eixos pela matriz$R,$ a interseção deste cone com o plano $z=1$ pode ser uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Agora vamos considerar o caso em que $\Delta = 0$.
Para o sub-caso em que exatamente um de $a',$ $b',$ e $c'$ é zero, suponha $c'=0.$ Então se $a'$ e $b'$ tem o mesmo sinal a solução da Equação $(4)$ é $x'=y'=0,$ uma única linha, o que implica a solução da Equação $(1)$é um único ponto ou o conjunto vazio. E se$a'$ e $b'$ têm sinais opostos que a Equação $(4)$ é equivalente a $$ \left(\sqrt{\lvert a'\rvert}\;x' + \sqrt{\lvert b'\rvert}\; y'\right) \left(\sqrt{\lvert a'\rvert}\; x' - \sqrt{\lvert b'\rvert}\; y'\right) = 0, $$ que descreve um par de planos que se cruzam, então a solução da Equação $(1)$é uma ou duas linhas. Obtemos os mesmos tipos de resultados se supormos$a'=0$ ou $b'=0.$
Para o sub-caso em que dois de $a',$ $b',$ e $c'$ são zero, suponha $b'=c'=0.$ Então Equação $(4)$ é apenas $$ a'x'^2 = 0,$$ cujo conjunto de solução é um par de planos paralelos, então a solução da Equação $(1)$são duas linhas ou o conjunto vazio. Obtemos os mesmos tipos de resultados se supormos$b'$ ou $c'$ é o coeficiente diferente de zero.
O subcaso final é que $a'=b'=c'=0,$ isso é, $D = 0,$ o que implica que $M=0,$ nesse caso, o conjunto de solução da Equação $(4)$ é o espaço inteiro, e o conjunto de solução da Equação $(1)$ é o plano inteiro.
Neste ponto, vimos que se $\Delta \neq 0$ temos uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, enquanto se $\Delta = 0$temos um par de linhas, uma única linha, um único ponto, o conjunto vazio ou o plano inteiro. Portanto, a declaração original não está totalmente completa, porque considerou apenas um par de linhas como uma solução possível quando$\Delta = 0$. Mas você poderia dizer, nesse caso, que se a solução não é trivial (vazio ou o plano inteiro) e é mais de um ponto, é um par de linhas que pode ou não ser a mesma linha.
Classificar a seção do cone elíptico no caso em que $\Delta \neq 0$, vamos olhar para o canto superior esquerdo $2\times2$ submatriz de $M.$ Deixei $$ A = \begin{pmatrix} a&h \\ h&b \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} g\\f \end{pmatrix}. $$ Então $M$ pode ser escrito como uma matriz de bloco,
$$ M = \begin{pmatrix} A & \mathbf b \\ \mathbf b^\top & c \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{cc|c} a&h&g \\ h&b&f \\ \hline g&f&c \end{array}\right). $$
Observe que $A$ é simétrico e pode ser diagonalizado por alguns ortogonais $2\times2$ matriz $R_2$. Se deixarmos$$ S = \begin{pmatrix} R_2 & \begin{matrix} 0\\0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0&0 \end{matrix} & 1 \end{pmatrix} $$ então $S$ é uma rotação em torno do $z$ eixo e superior esquerdo $2\times 2$ submatriz de $S^\top MS$ é diagonal.
E se $h^2 \neq ab,$ isto é, se o determinante de $A$ não é zero, então o superior $2\times 2$ submatriz de $S^\top MS$ tem entradas diferentes de zero em ambos os elementos diagonais e há uma translação paralela ao $x,y$ plano que zera os restantes elementos fora da diagonal de $S^\top MS$. (Veja esta resposta a outra pergunta para uma ideia sobre como isso pode ser feito.) Nesse caso, configuração$z = 1$, obtemos uma equação da forma
$$ a'' x''^2 + b'' y''^2 + c'' = 0 \tag5$$
(nas coordenadas traduzidas $x'', y''$) Onde $$ \begin{vmatrix} a'' & 0 \\ 0 & b'' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & h \\ h & b \end{vmatrix}. $$
Se a solução da Equação $(5)$ não está vazio, é uma elipse (quando $a''$ e $b''$ têm o mesmo sinal, que ocorre se e somente se o determinante de $A$ é positivo, o que ocorre se e somente se $h^2 < ab$) ou uma hipérbole (quando $a''$ e $b''$ têm sinais opostos, se e somente se o determinante de $A$ é positivo, se e somente se $h^2 > ab$)
E se $h^2 = ab,$ então o determinante de $A$é zero, e quando o diagonalizamos obtemos uma matriz com apenas um elemento diferente de zero. Em geral, não é possível zerar todos os elementos fora da diagonal de$S^\top MS$ por translação de coordenadas paralelas ao $x,y$plano, mas é possível zerar um elemento na coluna mais à direita e o elemento correspondente na linha inferior. Assumindo o elemento superior esquerdo de$S^\top MS$ é diferente de zero (o que podemos realizar por meio da seleção apropriada da rotação $S$), pela tradução podemos substituir $S^\top MS$ com uma matriz do formulário $$M''= \begin{pmatrix} a''&0&0 \\ 0&0&f''\\ 0&f''&c''\end{pmatrix},$$ e a solução de $\mathbf x^\top M\mathbf x = 0$ tem a mesma forma que a solução de
$$ a''x''^2 + 2f''y'' + c'' = 0. \tag6 $$
A condição $\Delta \neq 0$ implica que a matriz $M''$ tem um determinante diferente de zero, o que implica que $f'' \neq 0,$ e, portanto, a solução da Equação $(6)$ é uma parábola.
Em resumo, no caso $h^2 < ab$ temos uma equação transformada cuja solução é uma elipse, no caso $h^2 > ab$ a solução transformada é uma hipérbole e, no caso $h^2 = ab$a solução transformada é uma parábola. A solução da equação original$(1)$ tem a mesma forma que a solução transformada, mas pode ser girada e / ou transladada no $x,y$ avião.
Vamos por outro caminho:
Qualquer par de linhas tem equação $k(a_1 x+b_1 y+c_1)(a_2 x+b_2 y+c_2)=0,$ que corresponde à matriz sendo $\begin{pmatrix}a_1 \\b_1\\c_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&b_2&c_2\end{pmatrix},$ qual é de categoria $1$e, portanto, tem determinante zero. Além disso, todos os 2 por 2 menores são zero em particular$h^2-ab=0.$
Agora, qualquer parábola pode ser escrita como um múltiplo de $\frac{(a_d x+b_d y+c_d)^2}{a_d^2+b_d^2}=(x-f_x)^2+(y-f_y)^2$ ou $-k\frac{(b_d x-a_d y)^2+((-2b_d^2f_x)-2a_d^2f_x-2a_dc_d)x+((-2b_d^2f_y)-2a_d^2f_y-2b_dc_d)y+(b_d^2f_y^2+a_d^2f_y^2+b_d^2f_x^2+a_d^2f_x^2-c_d^2)}{a_d^2+b_d^2}=0.$ Esse é o primeiro menor $\frac{k^2}{(a_d^2+b_d^2)^2}\begin{pmatrix}b_d^2&-a_db_d\\-a_db_d&a_d^2\end{pmatrix}$ desaparece ou $h^2=ab.$
Mais geralmente, qualquer elipse pode ser dada como tendo uma equação proporcional a $e^2\frac{(a_d x+b_d y+c_d)^2}{a_d^2+b_d^2}=(x-f_x)^2+(y-f_y)^2$ com a excentricidade ao quadrado $0<e^2<1$ e qualquer hipérbole pela mesma equação com $e^2>1$. Fazendo o primeiro menor
$\frac{k^2}{(a_d^2+b_d^2)^2}\begin{pmatrix}a_d^2(e^2-1)-b_d^2&a_db_de^2\\a_db_de^2&b_d^2(e^2-1)-a_d^2\end{pmatrix},$ que tem determinante proporcional a $(e^2-1)(a_d^2+b_d^2)^2.$