इंटीग्रल कैलकुलस, इनफिनिटिमल

Question

जोड़ना $y=f(x)$ से $a$ सेवा $b$ हम फ़ंक्शन को चौड़ाई के छोटे आयतों में तोड़ते हैं $dx$। ऐसा$n$की दूरी पर होगा $n\,dx$ से $a$ पर $x$-एक्सिस। उसे वही रहने दो$t$ के बीच आयतें $a$ तथा $b$। इसलिये$b=a+t\,dx$। परंतु$t\,dx$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए बहुत छोटा होगा $t$Infinitesimals के गुणों के कारण। तो कभी कैसे पहुंचेगा$b$? क्या मुझे पथरी और शिशुओं के बारे में कोई गलत धारणा है?

Answer 1

अपनी पुस्तक इनफिनिटी पावर्स में , स्टीवन स्ट्रोग्ट्ज ने इस सटीक मुद्दे का उल्लेख किया है जिसका आप वर्णन कर रहे हैं। वह 'पूर्ण अनन्तता' और 'संभावित अनन्तता' के बीच के अंतर को मानता है। मैं जल्द ही आपके विशेष मुद्दे पर पहुंचूंगा, लेकिन सबसे पहले, मैं एक ऐसी ही समस्या का वर्णन करूंगा जो यह बताती है कि क्या चल रहा है।

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में शून्य द्वारा विभाजन की अनुमति नहीं है। हालाँकि, कई लोग झूठे विश्वास में साझा करते हैं$$ 1/0 = \infty $$ऐसा क्यों है? एक प्रशिक्षित गणितज्ञ उपरोक्त कथन को संशोधित कर सकता है, लेकिन वास्तव में, यह बहुत प्रशंसनीय है; गलत है , लेकिन प्रशंसनीय है। इस पर एक नजर डालिए:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$, $1/x$ दृष्टिकोण अनंत। इसलिए,$1/0=\infty$। लेकिन रुकिए, यही हमने दिखाया है। हमने जो दिखाया वह ऐसा है$x$ और करीब हो जाता है $0$, $1/x$बड़ा और बड़ा हो जाता है। इन दोनों कथनों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है जो अक्सर परिचयात्मक कलन विधि में चमकता है। एक बार जब आप मामले के लिए मिलता है$1/0$, सभी प्रकार के विरोधाभास उभरते हैं, और इसलिए यह अच्छे कारण के साथ है $1/0$है अपरिभाषित । हालांकि, क्या विचार है$1/0$हो सकता है या नहीं हो सकता है एक पूरी तरह से अभ्यास नहीं है। इसके विपरीत, यह हमारे लिए पथरी के सबसे महत्वपूर्ण साधनों में से एक हो सकता है: सीमा। के ग्राफ पर एक नजर डालते हैं$y=1/x$:

जैसा कि आप देख सकते हैं,$1/x$ के रूप में दूरी में गोली मारता है $x$ और करीब हो जाता है $0$। हम नहीं कह सकते क्या$1/0$ है ; हम जो कह सकते हैं, वह है$x$ और करीब हो जाता है $0$, $1/x$बड़ा और बड़ा हो जाता है। यह औपचारिक रूप से लिखा गया है$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ लेकिन रुकिए, यह बिलकुल भी सही नहीं है! $1/x$ केवल अनन्तता * के निकट आता है $x$ दृष्टिकोण $0$सकारात्मक अंत से। क्या हो अगर$x$ एक नकारात्मक संख्या है जो करीब और करीब हो रही है $0$? फिर,$1/x$ दृष्टिकोण $-$अनंत। शायद हम ऐसा लिख ​​सकते थे$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$लेकिन गणितज्ञों को यह पसंद आता है अगर सीमा का एक ही, निश्चित मूल्य है। इसलिए, उपरोक्त दोनों कथन गलत हैं, और हमें जो लिखना चाहिए वह यह है:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (थोड़ा '$+$'ठीक बगल में $0$ इंगित करता है कि हम मामले पर विचार कर रहे हैं $x$ एक सकारात्मक संख्या है जो आ रही है $0$। इसी तरह, '$-$' माध्यम $x$ एक नकारात्मक संख्या है जो आ रही है $0$।)

चिंता मत करो अगर सभी छोटे विवरण आपके लिए पूर्ण अर्थ नहीं रखते हैं। बस इन दो प्रमुख तथ्यों को याद रखने की कोशिश करें:

1. पथरी में, गणितज्ञ सीमा के साथ काम करते हैं ।
2. जब इस तरह की सीमाओं की गणना करने की कोशिश कर रहा है $1/x$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$, यह तथ्य कि $1/0$अपरिभाषित न तो यहां है और न ही वहां है। जब हम zero शून्य पर पहुंचते हैं ’तो हम काम करने की कोशिश नहीं कर रहे हैं। इसके बजाय, हम देख रहे हैं कि क्या होता है जैसे ही हम करीब आते हैं और करीब आते हैं$0$, दोनों सकारात्मक और नकारात्मक दिशा से। **

अब हम तुलना करते हैं कि हमने जो कुछ भी सोचा है, उसके साथ सीमा के बारे में हमने क्या सीखा है, जो कि हम जानते हैं। मेरे दिमाग में एक शिशु की अवधारणा के साथ सबसे बड़ी समस्या यह है कि वे सुझाव देते हैं कि एक 'सबसे छोटी संभव संख्या' है। दरअसल, जब हम मानक वास्तविक संख्याओं के साथ काम कर रहे होते हैं, तो ऐसी कोई बात नहीं होती है। यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए: हालांकि आप कम जाते हैं, आप हमेशा कम जा सकते हैं। आप इस विचार के प्रति सहानुभूतिपूर्ण हो सकते हैं कि$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$फिर, यह समस्याग्रस्त है, कम से कम नहीं क्योंकि यह अनंत का इलाज करता है जैसे कि यह एक संख्या थी। इसलिए, हमें बेहद सतर्क रहना चाहिए जब कोई व्यक्ति 'इनफ़िनिटिमल', या 'असीम रूप से छोटे' शब्दों का उल्लेख करता है। अक्सर जब वे करते हैं, तो हम इन शब्दों का उपयोग उन सीमाओं के लिए करते हैं, जो पहले हमारे साथ काम करते थे। उदाहरण के लिए, अगर मैं 'के रूप में लिखता हूं$x$ असीम रूप से छोटा हो जाता है, $1/x$असीम रूप से बड़ा हो जाता है ', तो यह बल्कि मैला होगा, लेकिन यह भी आमतौर पर पथरी के मूल सिद्धांतों में अच्छी तरह से वाकिफ होगा। (हालांकि मैं इस तरह की भाषा का उपयोग करने के खिलाफ चेतावनी दूंगा।)

अन्य बार जब लोग अनन्ततामूलों का उल्लेख करते हैं, तो वे अमानक विश्लेषण के बारे में बात कर रहे होते हैं, जिसमें एक अनन्तजीव के विचार को औपचारिक रूप दिया जाता है। लेकिन चलो नहीं, बग़ल में। जहां तक ​​मेरा सवाल है, 'इनफिनिटिमल्स' मौजूद नहीं है। यह आपका विचार भी होना चाहिए। जबकि शिशु-प्राणी सहज रूप से आकर्षक हो सकते हैं, हमें हमेशा इस बात की पुष्टि करनी चाहिए कि हमारे अंतर्ज्ञान वास्तविकता के अनुरूप हैं। नहीं तो हम परेशानी पूछ रहे हैं।

अंत में, हम आपके प्रश्न पर पहुँचते हैं। अगर मैं सही से समझूं, तो आप पूछ रहे हैं$$ \int_a^b f(x) \, dx $$जैसा कि आप पहले ही सही ढंग से बता चुके हैं, अभिन्न अंग कई छोटे आयतों में एक वक्र को विभाजित करने पर आधारित होते हैं, प्रत्येक एक निश्चित चौड़ाई के साथ। इस चौड़ाई को बुलाते हैं$\Delta x$। हम ग्राफ़ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्र का अनुमान लगा सकते हैं$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$यदि उपरोक्त अभिव्यक्ति आपके लिए अपरिचित दिखती है तो निराशा न करें। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक आयत की एक निश्चित चौड़ाई है$\Delta x$। प्रत्येक आयत की लंबाई प्रत्येक बिंदु पर वक्र की ऊंचाई पर निर्भर करती है - इसलिए लंबाई क्यों है$f(x)$, कहाँ पे $x$ एक चर है जो इससे जाता है $a$ सेवा $b$। और निश्चित रूप से, सन्निकटन आयतों के क्षेत्रों के योग से आता है। यह कल्पना करने के लिए, यहाँ एक एनीमेशन विकिपीडिया से लिया गया है:

जैसा कि एनीमेशन सही सुझाव देता है, सन्निकटन बेहतर हो जाते हैं$\Delta x$ दृष्टिकोण $0$। यह कहाँ है$dx$चरणों में, आप कल्पना कर सकते हैं कि यदि आयतों में असीम रूप से छोटी चौड़ाई है, तो आयतों को क्षेत्र बिल्कुल ठीक मिलता है। ऐतिहासिक रूप से,$dx$ वास्तव में इस तरह से एक infinitesimal परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया गया था $x$। हालांकि, कठोरता के आधुनिक मानकों ने इस व्याख्या का प्रतिपादन किया है$dx$काफी हद तक अप्रचलित है। सभी विरोधाभासों के कारण वे बना सकते हैं, infinitesimals औपचारिक गणित में सबसे अच्छा बचा जाता है, कम से कम 'मानक' कलन के संदर्भ में। बजाय,$dx$एक सीमा अभिव्यक्ति के लिए आशुलिपि के भाग के रूप में देखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि$y=f(x)$, फिर $dy/dx$ के लिए एक आशुलिपि है $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$अभिन्न के इस मामले में, हम कर सकते हैं की कल्पना है कि$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ चौड़ाई के असीम रूप से कई असीम छोटे आयतों के योग का प्रतिनिधित्व करता है $dx$। लेकिन यहां तक ​​कि सिर्फ यह लिखना मुझे तंग करता है। तथ्य यह है कि आयतों की संख्या बड़ी और बड़ी हो जाती है, इसका मतलब यह नहीं है कि अनंत रूप से कई आयतें हैं (इसलिए 'संभावित अनंत' और 'वास्तविक अनंत' के बीच अंतर)। और अपने प्रश्न में आपके द्वारा व्यक्त की गई भावनाओं को देखते हुए, infinitesimals आपके लिए सही दृष्टिकोण नहीं हो सकता है। यदि आप प्रत्येक आयत की चौड़ाई की सही-सही व्याख्या करते हैं, तो आप बिल्कुल स्पष्ट विरोधाभास के बारे में सही हैं। अभिन्न की औपचारिक परिभाषा इस मुद्दे को पूरी तरह से परिभाषित करती है$\int_a^b f(x) \, dx$के रूप में आयतों के क्षेत्रों की राशि की सीमा के रूप में$\Delta x$ दृष्टिकोण $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$एक पैटर्न उभरा हुआ लगता है। हर बार जब आप अपने आप को असीम लोगों के बारे में सोचते हुए पकड़ लेते हैं, तो लगता है कि सीमाएं! आपको अपने अंतर्ज्ञान को खिड़की से बाहर फेंकने की आवश्यकता नहीं है - यदि आप अपने गणना की मानसिक तस्वीर के निर्माण के लिए उपयोगी infinitesimals पाते हैं, तो यह आपके लिए उनके साथ दूर करने के लिए नासमझ होगा। समान रूप से हालांकि, यह कभी नहीं भूलना चाहिए कि यह वास्तव में क्या हो रहा है।

---

* 'एप्रोच इनफिनिटी' वाक्यांश के साथ सावधान रहें। इसका बहुत ही अलग अर्थ है 'दृष्टिकोण'$5$', कहते हैं। अगर मैं कहूं$x$ अनंत के करीब आ रहा है, तो मेरा मतलब है कि सब कुछ है $x$बड़ा और बड़ा हो रहा है। बस।

** इस विशेष मामले में, सीमा 'अस्तित्व में नहीं है', क्योंकि हम दो अलग-अलग उत्तरों के साथ समाप्त होते हैं: $+\infty$ तथा $-\infty$, हम दृष्टिकोण पर निर्भर करता है $0$'ऊपर' या 'नीचे' से। इसलिए, हमें इस मामले पर विचार करने के लिए खुद को प्रतिबंधित करना होगा$x$ दृष्टिकोण $0$ केवल सकारात्मक अंत से, या केवल नकारात्मक अंत से।