Teori Jaringan - Panduan Cepat

Network theoryadalah ilmu yang mempelajari pemecahan masalah rangkaian listrik atau jaringan listrik. Pada bab pendahuluan ini, mari kita bahas terminologi dasar rangkaian listrik dan jenis elemen jaringan.

Terminologi Dasar

Dalam Teori Jaringan, kita akan sering menemukan istilah berikut -

• Sirkuit Listrik
• Jaringan Listrik
• Current
• Voltage
• Power

Jadi, sangat penting bagi kita untuk mengumpulkan beberapa pengetahuan dasar tentang istilah-istilah ini sebelum melangkah lebih jauh. Mari kita mulai dengan Rangkaian Listrik.

Sirkuit Listrik

Sirkuit listrik berisi jalur tertutup untuk menyediakan aliran elektron dari sumber tegangan atau sumber arus. Unsur-unsur yang ada dalam rangkaian listrik akan masukseries connection, parallel connection, atau dalam kombinasi koneksi seri dan paralel.

Jaringan Listrik

Jaringan listrik tidak perlu memiliki jalur tertutup untuk menyediakan aliran elektron dari sumber tegangan atau sumber arus. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa "semua rangkaian listrik adalah jaringan listrik" tetapi hal sebaliknya tidak harus benar.

Arus

Sekarang "I"mengalir melalui konduktor tidak lain adalah laju waktu aliran muatan. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Dimana,

• Q adalah muatan dan unitnya adalah Coloumb.

• t adalah waktu dan unitnya adalah yang kedua.

Sebagai analogi, arus listrik dapat diartikan sebagai aliran air melalui pipa. Arus diukur dalam bentukAmpere.

Secara umum, Electron current mengalir dari terminal negatif sumber ke terminal positif, sedangkan, Conventional current mengalir dari terminal positif sumber ke terminal negatif.

Electron current diperoleh karena pergerakan elektron bebas, sedangkan, Conventional currentdiperoleh karena pergerakan muatan positif gratis. Keduanya disebut sebagaielectric current.

Tegangan

Voltase "V"tidak lain adalah gaya gerak listrik yang menyebabkan muatan (elektron) mengalir. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

Dimana,

• W adalah energi potensial dan satuannya adalah Joule.

• Q adalah muatan dan unitnya adalah Coloumb.

Sebagai analogi, Tegangan dapat diartikan sebagai tekanan air yang menyebabkan air mengalir melalui pipa. Ini diukur dalam bentukVolt.

Kekuasaan

Kekuasaan "P"tidak lain adalah laju aliran energi listrik. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$P = \frac{dW}{dt}$$

Dimana,

• W adalah energi listrik dan diukur dalam bentuk Joule.

• t adalah waktu dan diukur dalam hitungan detik.

Kita dapat menulis ulang persamaan di atas a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

Karena itu, power tidak lain adalah product tegangan V dan saat ini I. Satuannya adalahWatt.

Jenis Elemen Jaringan

Kita dapat mengklasifikasikan elemen Jaringan menjadi berbagai jenis berdasarkan beberapa parameter. Berikut adalah jenis elemen Jaringan -

• Elemen Aktif dan Elemen Pasif

• Elemen Linear dan Elemen Non-linier

• Unsur Bilateral dan Unsur Sepihak

Elemen Aktif dan Elemen Pasif

Kita dapat mengklasifikasikan elemen Jaringan menjadi salah satunya active atau passive berdasarkan kemampuan memberikan tenaga.

• Active Elementsmengirimkan daya ke elemen lain, yang ada di sirkuit listrik. Terkadang, mereka mungkin menyerap kekuatan seperti elemen pasif. Artinya, elemen aktif memiliki kemampuan untuk mengirimkan dan menyerap daya.Examples: Sumber tegangan dan sumber arus.

• Passive Elementstidak dapat mengirimkan tenaga (energi) ke elemen lain, namun mereka dapat menyerap daya. Itu berarti elemen-elemen ini menghilangkan daya dalam bentuk panas atau menyimpan energi baik dalam bentuk medan magnet atau medan listrik.Examples: Resistor, Induktor, dan Kapasitor.

Elemen Linear dan Elemen Non-Linear

Kita dapat mengklasifikasikan elemen jaringan sebagai linear atau non-linear berdasarkan karakteristik mereka untuk mematuhi properti linieritas.

• Linear Elements adalah elemen yang menunjukkan hubungan linier antara tegangan dan arus. Examples: Resistor, Induktor, dan Kapasitor.

• Non-Linear Elements adalah yang tidak menunjukkan hubungan linier antara tegangan dan arus. Examples: Sumber tegangan dan sumber arus.

Unsur Bilateral dan Unsur Sepihak

Elemen jaringan juga dapat diklasifikasikan sebagai baik bilateral atau unilateral berdasarkan arah arus yang mengalir melalui elemen jaringan.

Bilateral Elements adalah elemen yang memungkinkan arus di kedua arah dan menawarkan impedansi yang sama di kedua arah aliran arus. Examples: Resistor, Induktor dan Kapasitor.

Konsep elemen Bilateral diilustrasikan pada gambar berikut.

Pada gambar di atas, arus (I) mengalir dari terminal A ke B melalui elemen pasif yang memiliki impedansi Z Ω. Ini adalah rasio tegangan (V) melintasi elemen itu antara terminal A & B dan arus (I).

Pada gambar di atas, arus (I) mengalir dari terminal B ke A melalui elemen pasif yang memiliki impedansi Z Ω. Itu berarti arus (–I) mengalir dari terminal A ke B. Dalam hal ini juga, kita akan mendapatkan nilai impedansi yang sama, karena arus dan tegangan memiliki tanda negatif terhadap terminal A & B.

Unilateral Elementsadalah arus yang hanya memungkinkan arus dalam satu arah. Oleh karena itu, mereka menawarkan impedansi yang berbeda di kedua arah.

Kami membahas jenis elemen jaringan di bab sebelumnya. Sekarang, mari kita identifikasinature of network elements dari karakteristik VI yang diberikan dalam contoh berikut.

Contoh 1

Itu V-I characteristics elemen jaringan ditampilkan di bawah.

Step 1 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai linear atau non-linear.

Dari gambar di atas, karakteristik VI dari suatu elemen jaringan adalah garis lurus yang melewati origin. Oleh karena itu, ini adalah aLinear element.

Step 2 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai active atau passive.

Karakteristik VI dari elemen jaringan terletak pada kuadran pertama dan ketiga.

• Dalam first quadrant, nilai tegangan (V) dan arus (I) positif. Jadi, rasio tegangan (V) dan arus (I) memberikan nilai impedansi positif.

• Demikian pula di third quadrant, nilai tegangan (V) dan arus (I) memiliki nilai negatif. Jadi rasio tegangan (V) dan arus (I) menghasilkan nilai impedansi positif.

Karena, karakteristik VI yang diberikan menawarkan nilai impedansi positif, elemen jaringannya adalah a Passive element.

Step 3 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai bilateral atau unilateral.

Untuk setiap titik (I, V) pada karakteristik, terdapat titik yang sesuai (-I, -V) pada karakteristik yang diberikan. Oleh karena itu, elemen jaringan adalah aBilateral element.

Oleh karena itu, karakteristik VI yang diberikan menunjukkan bahwa elemen jaringan adalah a Linear, Passive, dan Bilateral element.

Contoh 2

Itu V-I characteristics elemen jaringan ditampilkan di bawah.

Step 1 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai linear atau non-linear.

Dari gambar di atas, karakteristik VI dari elemen jaringan adalah garis lurus hanya antara titik (-3A, -3V) dan (5A, 5V). Di luar titik-titik ini, karakteristik VI tidak mengikuti relasi linier. Oleh karena itu, ini adalah aNon-linear element.

Step 2 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai active atau passive.

Karakteristik VI dari elemen jaringan terletak pada kuadran pertama dan ketiga. Pada dua kuadran ini, rasio tegangan (V) dan arus (I) menghasilkan nilai impedansi positif. Oleh karena itu, elemen jaringan adalah aPassive element.

Step 3 - Memverifikasi elemen jaringan sebagai bilateral or unilateral.

Pertimbangkan poin (5A, 5V) pada karakteristik. Titik yang sesuai (-5A, -3V) ada pada karakteristik yang diberikan, bukan (-5A, -5V). Oleh karena itu, elemen jaringan adalah aUnilateral element.

Oleh karena itu, karakteristik VI yang diberikan menunjukkan bahwa elemen jaringan adalah a Non-linear, Passive, dan Unilateral element.

Active Elementsadalah elemen jaringan yang mengirimkan daya ke elemen lain yang ada dalam rangkaian listrik. Jadi, elemen aktif disebut juga sebagai sumber tegangan atau tipe arus. Kami dapat mengklasifikasikan sumber-sumber ini ke dalam dua kategori berikut -

• Sumber Independen
• Sumber yang Bergantung

Sumber Independen

Seperti namanya, sumber independen menghasilkan nilai tegangan atau arus tetap dan ini tidak bergantung pada parameter lain. Sumber independen dapat dibagi lagi menjadi dua kategori berikut -

• Sumber Tegangan Independen
• Sumber Arus Independen

Sumber Tegangan Independen

Sumber tegangan independen menghasilkan tegangan konstan di kedua terminalnya. Tegangan ini tidak tergantung pada jumlah arus yang mengalir melalui dua terminal sumber tegangan.

Independen ideal voltage source dan karakteristik VI-nya ditunjukkan pada gambar berikut.

Itu V-I characteristicssumber tegangan ideal independen adalah garis konstan, yang selalu sama dengan tegangan sumber (VS) terlepas dari nilai arus (I). Jadi, resistansi internal sumber tegangan ideal independen adalah nol Ohm.

Oleh karena itu, sumber tegangan ideal independen do not exist practically, karena akan ada hambatan internal.

Independen practical voltage source dan karakteristik VI-nya ditunjukkan pada gambar berikut.

Terdapat penyimpangan dalam karakteristik VI sumber tegangan praktis independen dari karakteristik VI sumber tegangan ideal independen. Hal ini disebabkan oleh penurunan tegangan pada resistansi internal (R _S ) dari sumber tegangan praktis independen.

Sumber Arus Independen

Sumber arus independen menghasilkan arus konstan. Arus ini tidak tergantung pada tegangan di kedua terminalnya. Independenideal current source dan karakteristik VI-nya ditunjukkan pada gambar berikut.

Itu V-I characteristicssumber arus ideal independen adalah garis konstan, yang selalu sama dengan arus sumber (I _S ) terlepas dari nilai tegangan (V). Jadi, hambatan internal dari sumber arus ideal independen adalah ohm tak terhingga.

Oleh karena itu, sumber arus ideal independen do not exist practically, karena akan ada hambatan internal.

Independen practical current source dan karakteristik VI-nya ditunjukkan pada gambar berikut.

Terdapat deviasi karakteristik VI sumber arus praktis independen dari karakteristik VI sumber arus ideal independen. Hal ini disebabkan oleh jumlah arus yang mengalir melalui resistansi shunt internal (R _S ) dari sumber arus praktis independen.

Sumber yang Bergantung

Seperti namanya, sumber dependen menghasilkan jumlah tegangan atau arus yang bergantung pada tegangan atau arus lain. Sumber dependen juga disebut sebagaicontrolled sources. Sumber yang bergantung dapat dibagi lagi menjadi dua kategori berikut -

• Sumber Tegangan Tergantung
• Sumber Arus Bergantung

Sumber Tegangan Tergantung

Sumber tegangan dependen menghasilkan tegangan di kedua terminalnya. Besarnya tegangan ini tergantung pada beberapa tegangan atau arus lain. Oleh karena itu, sumber tegangan dependen selanjutnya dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori berikut -

• Sumber Tegangan Tergantung Tegangan (VDVS)
• Sumber Tegangan Tergantung Saat Ini (CDVS)

Sumber tegangan dependen diwakili dengan tanda '+' dan '-' di dalam bentuk wajik. Besarnya sumber tegangan dapat direpresentasikan di luar bentuk berlian.

Sumber Arus Bergantung

Sumber arus dependen menghasilkan arus. Besarnya arus ini tergantung pada tegangan atau arus lain. Oleh karena itu, sumber arus dependen selanjutnya dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori berikut -

• Sumber Arus Bergantung Tegangan (VDCS)
• Sumber Arus Bergantung Saat Ini (CDCS)

Sumber arus yang bergantung diwakili dengan panah di dalam bentuk berlian. Besarnya sumber arus dapat direpresentasikan di luar bentuk berlian.

Kita dapat mengamati sumber dependen atau terkontrol ini dalam model transistor yang setara.

Teknik Transformasi Sumber

Kita tahu bahwa ada dua sumber praktis, yaitu, voltage source dan current source. Kami dapat mengubah (mengubah) satu sumber menjadi yang lain berdasarkan kebutuhan, sambil memecahkan masalah jaringan.

Teknik mengubah satu sumber menjadi sumber lainnya disebut sebagai source transformation technique. Berikut adalah dua kemungkinan transformasi sumber -

• Sumber tegangan praktis menjadi sumber arus praktis
• Sumber arus praktis menjadi sumber tegangan praktis

Sumber tegangan praktis menjadi sumber arus praktis

Transformasi sumber tegangan praktis menjadi sumber arus praktis ditunjukkan pada gambar berikut

Practical voltage sourceterdiri dari sumber tegangan (V _S ) secara seri dengan resistor (R _S ). Ini dapat diubah menjadi sumber arus praktis seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ini terdiri dari sumber arus (I _S ) secara paralel dengan resistor (R _S ).

Nilai IS akan sama dengan rasio V _S dan R _S . Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

Sumber arus praktis menjadi sumber tegangan praktis

Transformasi sumber arus praktis menjadi sumber tegangan praktis ditunjukkan pada gambar berikut.

Sumber arus praktis terdiri dari sumber arus (I _S ) yang paralel dengan resistor (R _S ). Ini dapat diubah menjadi sumber tegangan praktis seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ini terdiri dari sumber tegangan (V _S ) secara seri dengan resistor (R _S ).

Nilai V _S akan sama dengan produk dari saya _S dan R _S . Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$$V_S = I_S R_S$$

Pada bab ini, kita akan membahas secara detail tentang elemen pasif seperti Resistor, Induktor, dan Kapasitor. Mari kita mulai dengan Resistor.

Penghambat

Fungsi utama Resistor adalah melawan atau membatasi aliran arus listrik. Oleh karena itu, resistor digunakan untuk membatasi jumlah aliran arus dan / atau membagi (membagi) tegangan.

Biarkan arus yang mengalir melalui resistor adalah I ampere dan tegangan yang melewatinya adalah V volt. Itusymbol resistor bersama dengan arus, I dan tegangan, V ditunjukkan pada gambar berikut.

Berdasarkan Ohm’s law, tegangan melintasi resistor adalah produk dari arus yang mengalir melaluinya dan resistansi resistor itu. Mathematically, dapat direpresentasikan sebagai

$V = IR$ Equation 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$Equation 2

Dimana, R adalah hambatan sebuah resistor.

Dari persamaan 2, dapat disimpulkan bahwa arus yang mengalir melalui resistor berbanding lurus dengan tegangan yang diberikan melintasi resistor dan berbanding terbalik dengan resistansi resistor.

Power dalam elemen sirkuit listrik dapat direpresentasikan sebagai

$P = VI$Equation 3

Substitusi, Persamaan 1 pada Persamaan 3.

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$ Equation 4

Substitusi, Persamaan 2 pada Persamaan 3.

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$ Equation 5

Jadi, kita dapat menghitung jumlah daya yang dihamburkan dalam resistor dengan menggunakan salah satu rumus yang disebutkan dalam Persamaan 3 hingga 5.

Induktor

Secara umum, induktor memiliki jumlah lilitan. Oleh karena itu, mereka menghasilkan fluks magnet ketika arus mengalir melaluinya. Jadi, jumlah fluks magnet total yang dihasilkan oleh induktor tergantung pada arus, I mengalir melaluinya dan mereka memiliki hubungan linier.

Mathematically, dapat ditulis sebagai

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\Rightarrow \Psi = LI$$

Dimana,

• Ψ adalah fluks magnet total

• L adalah induktansi dari induktor

Biarkan arus yang mengalir melalui induktor adalah I ampere dan tegangan yang melewatinya adalah V volt. Itusymbolinduktor bersama dengan arus I dan tegangan V ditunjukkan pada gambar berikut.

Berdasarkan Faraday’s law, tegangan induktor dapat ditulis sebagai

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

Gantikan Ψ = LI dalam persamaan di atas.

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

Dari persamaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat a linear relationship antara tegangan induktor dan arus yang mengalir melaluinya.

Kami tahu itu power dalam elemen sirkuit listrik dapat direpresentasikan sebagai

$$P = VI$$

Pengganti $V = L \frac{dI}{dt}$ dalam persamaan di atas.

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\Rightarrow P = LI \frac{dI}{dt}$$

Dengan mengintegrasikan persamaan di atas, kita akan mendapatkan energy disimpan dalam induktor sebagai

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

Jadi, induktor menyimpan energi dalam bentuk medan magnet.

Kapasitor

Secara umum, kapasitor memiliki dua pelat konduktor, dipisahkan oleh media dielektrik. Jika tegangan positif diterapkan melintasi kapasitor, maka kapasitor akan menyimpan muatan positif. Demikian pula, jika tegangan negatif diterapkan melintasi kapasitor, maka ia menyimpan muatan negatif.

Jadi, jumlah muatan yang disimpan di kapasitor tergantung pada tegangan yang diberikan Vmelintasi itu dan mereka memiliki hubungan linier. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\Rightarrow Q = CV$$

Dimana,

• Q adalah muatan yang disimpan di kapasitor.

• C adalah kapasitansi kapasitor.

Biarkan arus yang mengalir melalui kapasitor adalah I ampere dan tegangan yang melewatinya adalah V volt. Simbol kapasitor beserta arus I dan tegangan V ditunjukkan pada gambar berikut.

Kami tahu bahwa current tidak lain adalah time rate of flow of charge. Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Pengganti $Q = CV$ dalam persamaan di atas.

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

Dari persamaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat a linear relationship antara tegangan melintasi kapasitor dan arus yang mengalir melaluinya.

Kami tahu itu power dalam elemen sirkuit listrik dapat direpresentasikan sebagai

$$P = VI$$

Pengganti $I = C \frac{dV}{dt}$ dalam persamaan di atas.

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

Dengan mengintegrasikan persamaan di atas, kita akan mendapatkan energy disimpan di kapasitor sebagai

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

Jadi kapasitor menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.

Elemen jaringan dapat berupa salah satu dari active atau passiveTipe. Setiap rangkaian atau jaringan listrik berisi salah satu dari dua jenis elemen jaringan ini atau kombinasi keduanya.

Sekarang, mari kita bahas tentang dua undang-undang berikut, yang lebih dikenal sebagai Kirchhoff’s laws.

• Hukum Kirchhoff Saat Ini
• Hukum Tegangan Kirchhoff

Hukum Kirchhoff Saat Ini

Hukum Arus Kirchhoff (KCL) menyatakan bahwa jumlah aljabar arus yang meninggalkan (atau memasuki) sebuah simpul sama dengan nol.

SEBUAH Nodeadalah titik di mana dua atau lebih elemen rangkaian terhubung dengannya. Jika hanya dua elemen rangkaian yang dihubungkan ke sebuah node, maka dikatakan node sederhana. Jika tiga atau lebih elemen sirkuit dihubungkan ke sebuah node, maka disebut nodePrincipal Node.

Mathematically, KCL dapat direpresentasikan sebagai

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

Dimana,

• I_madalah arus cabang ^ke- m yang meninggalkan node.

• M adalah jumlah cabang yang terhubung ke sebuah node.

Pernyataan di atas dari KCLjuga dapat dinyatakan sebagai "jumlah aljabar arus yang memasuki node sama dengan jumlah aljabar arus yang meninggalkan node". Mari kita verifikasi pernyataan ini melalui contoh berikut.

Contoh

Menulis KCL equation di simpul P dari gambar berikut.

• Pada gambar di atas, arus cabang I ₁ , I ₂ dan I ₃ adalahentering di simpul P. Jadi, pertimbangkan tanda negatif untuk ketiga arus ini.

• Pada gambar di atas, arus cabang I ₄ dan I ₅ adalahleaving dari simpul P. Jadi, pertimbangkan tanda positif untuk kedua arus ini.

Itu KCL equation di node P akan

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

Dalam persamaan di atas, sisi kiri mewakili jumlah arus yang masuk, sedangkan sisi kanan mewakili jumlah arus yang keluar.

Dalam tutorial ini, kita akan mempertimbangkan tanda positif ketika arus meninggalkan simpul dan tanda negatif ketika memasuki simpul. Demikian pula, Anda dapat mempertimbangkan tanda negatif ketika arus meninggalkan simpul dan tanda positif ketika memasuki simpul. Dalam kedua kasus, fileresult will be same.

Note - KCL tidak bergantung pada sifat elemen jaringan yang terhubung ke node.

Hukum Tegangan Kirchhoff

Hukum Tegangan Kirchhoff (KVL) menyatakan bahwa jumlah aljabar tegangan di sekitar loop atau mesh sama dengan nol.

SEBUAH Loopadalah jalur yang berakhir di simpul yang sama tempat asalnya. Sebaliknya, aMesh adalah loop yang tidak berisi loop lain di dalamnya.

Secara matematis, KVL dapat direpresentasikan sebagai

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

Dimana,

• V_nadalah tegangan elemen ^ke n dalam sebuah loop (mesh).

• N adalah jumlah elemen jaringan dalam loop (mesh).

Pernyataan di atas dari KVLjuga dapat dinyatakan sebagai "jumlah aljabar sumber tegangan sama dengan jumlah aljabar penurunan tegangan yang ada dalam satu lingkaran". Mari kita verifikasi pernyataan ini dengan bantuan contoh berikut.

Contoh

Menulis KVL equation di sekitar loop dari sirkuit berikut.

Diagram rangkaian di atas terdiri dari sumber tegangan, V _S secara seri dengan dua resistor R ₁ dan R ₂ . Tegangan turun di resistor R ₁ dan R ₂ adalah V ₁ dan V ₂ masing-masing.

Menerapkan KVL di sekitar lingkaran.

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

Dalam persamaan di atas, istilah sisi kiri mewakili sumber tegangan tunggal VS. Sedangkan sisi kanan mewakilisum of voltage drops. Dalam contoh ini, kami hanya mempertimbangkan satu sumber tegangan. Itu sebabnya ruas kiri hanya berisi satu suku. Jika kita menganggap beberapa sumber tegangan, maka sisi kiri berisi jumlah sumber tegangan.

Dalam tutorial ini, kami mempertimbangkan tanda tegangan setiap elemen sebagai polaritas terminal kedua yang ada saat melakukan perjalanan di sekitar loop. Demikian pula, Anda dapat mempertimbangkan tanda setiap tegangan sebagai polaritas terminal pertama yang ada saat melakukan perjalanan di sekitar loop. Dalam kedua kasus, fileresult will be same.

Note - KVL tidak bergantung pada sifat elemen jaringan yang ada dalam satu loop.

Dalam bab ini, mari kita bahas tentang dua prinsip pembagian besaran listrik berikut.

• Prinsip Divisi Saat Ini
• Prinsip Divisi Tegangan

Prinsip Divisi Saat Ini

Ketika dua atau lebih elemen pasif dihubungkan secara paralel, jumlah arus yang mengalir melalui setiap elemen didapat divided (dibagi) di antara mereka sendiri dari arus yang memasuki node.

Simak berikut ini circuit diagram.

Diagram rangkaian di atas terdiri dari sumber arus masukan I_S secara paralel dengan dua resistor R₁ dan R₂. Tegangan di setiap elemen adalahV_S. Arus mengalir melalui resistorR₁ dan R₂ adalah I₁ dan I₂ masing-masing.

Itu KCL equation di simpul P akan

$$I_S = I_1 + I_2$$

• Pengganti $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ dan $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ dalam persamaan di atas.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Gantikan nilai V _S in$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$.

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Gantikan nilai V _S in$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$.

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Dari persamaan I ₁ dan I ₂ , kita dapat menggeneralisasi bahwa arus yang mengalir melalui elemen pasif dapat diketahui dengan menggunakan rumus berikut.

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

Ini dikenal sebagai current division principle dan itu berlaku, ketika dua atau lebih elemen pasif dihubungkan secara paralel dan hanya satu arus yang masuk ke node.

Dimana,

• Aku _N adalah arus yang mengalir melalui elemen pasif N ^th cabang.

• I _S adalah arus input, yang memasuki node.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z _N adalah impedansi dari 1 ^st cabang, 2 ^nd cabang, ..., N ^th cabang masing-masing.

Prinsip Divisi Tegangan

Ketika dua atau lebih elemen pasif dihubungkan secara seri, jumlah tegangan yang ada di setiap elemen didapat divided (dibagi) di antara mereka sendiri dari tegangan yang tersedia di seluruh kombinasi itu.

Simak berikut ini circuit diagram.

Diagram rangkaian di atas terdiri dari sumber tegangan, V _S secara seri dengan dua resistor R ₁ dan R ₂ . Arus yang mengalir melalui elemen-elemen ini adalah saya _S . Tegangan turun di resistor R ₁ dan R ₂ adalah V ₁ dan V ₂ masing-masing.

Itu KVL equation sekitar loop akan

$$V_S = V_1 + V_2$$

• Substitusi V ₁ = I _S R ₁ dan V ₂ = I _S R ₂ pada persamaan di atas

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• Gantikan nilai I _S di V ₁ = I _S R ₁ .

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Gantikan nilai I _S di V ₂ = I _S R ₂ .

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Dari persamaan V ₁ dan V ₂ , kita dapat menggeneralisasi bahwa tegangan di semua elemen pasif dapat ditemukan dengan menggunakan rumus berikut.

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

Ini dikenal sebagai voltage division principle dan itu berlaku, ketika dua atau lebih elemen pasif dihubungkan secara seri dan hanya satu tegangan yang tersedia di seluruh kombinasi.

Dimana,

• V _N adalah tegangan yang melintasi elemen pasif ^ke- N .

• V _S adalah tegangan input, yang ada di seluruh kombinasi elemen pasif seri.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z ₃ adalah impedansi dari 1 ^st elemen pasif, 2 ^nd elemen pasif, ..., N ^th elemen pasif masing-masing.

Ada dua metode dasar yang digunakan untuk menyelesaikan jaringan listrik apa pun: Nodal analysis dan Mesh analysis. Dalam bab ini, mari kita bahas tentangNodal analysis metode.

Dalam analisis Nodal, kami akan mempertimbangkan tegangan node sehubungan dengan Ground. Oleh karena itu, analisis simpul juga disebut sebagaiNode-voltage method.

Prosedur Analisis Nodal

Ikuti langkah-langkah ini saat menyelesaikan jaringan atau rangkaian listrik apa pun menggunakan analisis Nodal.

• Step 1 - Identifikasi principal nodes dan pilih salah satunya sebagai reference node. Kami akan memperlakukan node referensi itu sebagai Ground.

• Step 2 - Beri label node voltages sehubungan dengan Ground dari semua node utama kecuali node referensi.

• Step 3 - Menulis nodal equationsdi semua node utama kecuali node referensi. Persamaan simpul diperoleh dengan menerapkan KCL terlebih dahulu baru kemudian hukum Ohm.

• Step 4 - Selesaikan persamaan nodal yang diperoleh pada Langkah 3 untuk mendapatkan tegangan node.

Sekarang, kita dapat menemukan arus yang mengalir melalui elemen apa pun dan tegangan melintasi elemen apa pun yang ada di jaringan yang diberikan dengan menggunakan tegangan node.

Contoh

Temukan arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dari rangkaian berikut menggunakan Nodal analysis.

Step 1 - Ada three principle nodesdi sirkuit di atas. Mereka diberi label sebagai 1, 2, dan 3 pada gambar berikut.

Pada gambar di atas, pertimbangkan node 3 sebagai node referensi (Ground).

Step 2- Tegangan node, V ₁ dan V ₂ , diberi label pada gambar berikut.

Pada gambar di atas, V ₁ adalah tegangan dari node 1 terhadap ground dan V ₂ adalah tegangan dari node 2 terhadap ground.

Step 3 - Dalam hal ini, kita akan mendapatkannya two nodal equations, karena ada dua node utama, 1 dan 2, selain Ground. Ketika kita menulis persamaan nodal pada sebuah simpul, asumsikan semua arus keluar dari simpul yang arah arusnya tidak disebutkan dan tegangan simpul tersebut lebih besar dari tegangan simpul lain di rangkaian.

Itu nodal equation di node 1 adalah

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ Equation 1

Itu nodal equation di node 2 adalah

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ Equation 2

Step 4- Menemukan tegangan node, V ₁ dan V ₂ dengan menyelesaikan Persamaan 1 dan Persamaan 2.

Gantikan Persamaan 1 pada Persamaan 2.

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

Gantikan V ₁ = 20 V dalam Persamaan1.

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

Jadi, kami mendapatkan tegangan node V ₁ dan V ₂ sebagai20 V dan 40 V masing-masing.

Step 5- Tegangan pada resistor 20 Ω tidak lain adalah tegangan simpul V ₂ dan sama dengan 40 V. Sekarang, kita dapat mengetahui arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dengan menggunakan hukum Ohm.

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

Gantikan nilai V ₂ dan R dalam persamaan di atas.

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

Oleh karena itu, arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dari rangkaian yang diberikan adalah 2 A.

Note- Dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa kita harus menyelesaikan persamaan nodal 'n', jika rangkaian listrik memiliki node utama 'n' (kecuali node referensi). Oleh karena itu, kita dapat memilih analisis Nodal saatnumber of principal nodes (kecuali node referensi) kurang dari jumlah mata jaring dari rangkaian listrik manapun.

Dalam analisis mesh, kami akan mempertimbangkan arus yang mengalir melalui setiap mesh. Oleh karena itu, analisis Mesh juga disebut sebagaiMesh-current method.

SEBUAH branchadalah jalur yang menghubungkan dua node dan berisi elemen sirkuit. Jika sebuah cabang hanya dimiliki oleh satu mesh, maka arus cabang akan sama dengan arus mesh.

Jika sebuah cabang sama dengan dua mata jaring, maka arus cabang akan sama dengan jumlah (atau perbedaan) dari dua arus mata jaring, ketika keduanya berada dalam arah yang sama (atau berlawanan).

Prosedur Analisis Mesh

Ikuti langkah-langkah ini saat menyelesaikan jaringan atau rangkaian listrik apa pun menggunakan analisis Mesh.

• Step 1 - Identifikasi meshes dan beri label arus mesh baik searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

• Step 2 - Amati jumlah arus yang mengalir melalui setiap elemen dalam hal arus mesh.

• Step 3 - Menulis mesh equationske semua jerat. Persamaan mesh diperoleh dengan menerapkan KVL terlebih dahulu baru kemudian hukum Ohm.

• Step 4 - Selesaikan persamaan mesh yang diperoleh pada Langkah 3 untuk mendapatkan mesh currents.

Sekarang, kita dapat menemukan arus yang mengalir melalui elemen apa pun dan tegangan melintasi elemen apa pun yang ada di jaringan yang diberikan dengan menggunakan arus mesh.

Contoh

Temukan tegangan pada resistor 30 Ω menggunakan Mesh analysis.

Step 1- Ada dua mata jaring di sirkuit di atas. Itumesh currentsI ₁ dan I ₂ dianggap searah jarum jam. Arus mesh ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Step 2- Arus mesh I ₁ mengalir melalui sumber tegangan 20 V dan resistor 5 Ω. Demikian pula arus mesh I ₂ mengalir melalui resistor 30 Ω dan sumber tegangan -80 V. Tetapi, perbedaan dua arus mesh, I ₁ dan I ₂ , mengalir melalui resistor 10 Ω, karena ini adalah cabang umum dari dua mata jaring.

Step 3 - Dalam hal ini, kita akan mendapatkannya two mesh equationskarena ada dua mata jaring di sirkuit yang diberikan. Ketika kita menulis persamaan mesh, asumsikan arus mesh dari mesh tertentu lebih besar dari semua arus mesh rangkaian lainnya.

Itu mesh equation dari jala pertama adalah

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

Bagilah persamaan di atas dengan 5.

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

Kalikan persamaan di atas dengan 2.

$4I_2 = 6I_1 - 8$ Equation 1

Itu mesh equation dari jala kedua adalah

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

Bagilah persamaan di atas dengan 10.

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ Equation 2

Step 4- Menemukan arus mesh I ₁ dan I ₂ dengan menyelesaikan Persamaan 1 dan Persamaan 2.

Suku sisi kiri dari Persamaan 1 dan Persamaan 2 adalah sama. Jadi, samakan suku sisi kanan dari Persamaan 1 dan Persamaan 2 untuk mencari nilai I ₁ .

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

Gantikan nilai I ₁ dalam Persamaan 2.

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

Jadi, kami mendapatkan arus mesh I ₁ dan I ₂ sebagai$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A dan $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A masing-masing.

Step 5- Arus yang mengalir melalui resistor 30 Ω tidak lain adalah arus mesh I ₂ dan itu sama dengan$\frac{14}{5}$ A. Sekarang, kita dapat menemukan tegangan pada resistor 30 Ω dengan menggunakan hukum Ohm.

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

Gantikan nilai I ₂ dan R dalam persamaan di atas.

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

Oleh karena itu, tegangan pada resistor 30 Ω dari rangkaian yang diberikan adalah 84 V.

Note 1- Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa kita harus menyelesaikan persamaan mesh 'm', jika rangkaian listrik mengalami mesh 'm'. Itu sebabnya kita dapat memilih analisis Jala ketika jumlah mata jaring kurang dari jumlah simpul utama (kecuali simpul referensi) dari rangkaian listrik apa pun.

Note 2 - Kita dapat memilih analisis Nodal atau Analisis Mesh, jika jumlah mata jaring sama dengan jumlah node utama (kecuali node referensi) di sirkuit listrik mana pun.

Jika suatu rangkaian terdiri dari dua atau lebih elemen pasif yang serupa dan terhubung secara eksklusif dari tipe seri atau tipe paralel, maka kita dapat menggantinya dengan satu elemen pasif ekuivalen. Karenanya, sirkuit ini disebut sebagaiequivalent circuit.

Dalam bab ini, mari kita bahas tentang dua rangkaian ekivalen berikut.

• Rangkaian Setara Seri
• Rangkaian Ekuivalen Paralel

Rangkaian Setara Seri

Jika elemen pasif serupa dihubungkan series, maka arus yang sama akan mengalir melalui semua elemen ini. Tapi, tegangan terbagi di setiap elemen.

Simak berikut ini circuit diagram.

Ini memiliki sumber tegangan tunggal (V _S ) dan tiga resistor yang memiliki resistansi R ₁ , R ₂ dan R ₃ . Semua elemen ini dihubungkan secara seri. Arus IS mengalir melalui semua elemen ini.

Sirkuit di atas hanya memiliki satu mesh. ItuKVL equation sekitar jala ini

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

Pengganti $V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$ dan $V_3 = I_S R_3$ dalam persamaan di atas.

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

Persamaan di atas berbentuk $V_S = I_S R_{Eq}$ dimana,

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

Itu equivalent circuit diagram dari rangkaian yang diberikan ditunjukkan pada gambar berikut.

Artinya, jika beberapa resistor dihubungkan secara seri, maka kita dapat menggantinya dengan equivalent resistor. Hambatan dari resistor ekivalen ini sama dengan jumlah dari resistansi dari semua resistor ganda tersebut.

Note 1- Jika induktor 'N' yang memiliki induktansi L ₁ , L ₂ , ..., L _N dirangkai seri, makaequivalent inductance akan

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

Note 2- Jika kapasitor 'N' yang memiliki kapasitansi C ₁ , C ₂ , ..., C _N dirangkai seri, makaequivalent capacitance akan

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

Rangkaian Ekuivalen Paralel

Jika elemen pasif serupa dihubungkan parallel, maka tegangan yang sama akan dipertahankan di setiap elemen. Tapi, arus yang mengalir melalui setiap elemen terbagi.

Simak berikut ini circuit diagram.

Ini memiliki sumber arus tunggal (I _S ) dan tiga resistor yang memiliki resistansi R ₁ , R ₂ , dan R ₃ . Semua elemen ini terhubung secara paralel. Tegangan (V _S ) tersedia di semua elemen ini.

Sirkuit di atas hanya memiliki satu node utama (P) kecuali node Ground. ItuKCL equation di simpul utama ini (P) adalah

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

Pengganti $I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ dan $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ dalam persamaan di atas.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

Persamaan di atas berupa V _S = I _S R _Persamaan dimana,

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Itu equivalent circuit diagram dari rangkaian yang diberikan ditunjukkan pada gambar berikut.

Artinya, jika beberapa resistor dihubungkan secara paralel, maka kita dapat menggantinya dengan resistor yang setara. Resistensi iniequivalent resistor sama dengan kebalikan dari jumlah kebalikan dari masing-masing resistansi dari semua resistor ganda tersebut.

Note 1- Jika induktor 'N' yang memiliki induktansi L ₁ , L ₂ , ..., L _N dihubungkan paralel, makaequivalent inductance akan

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

Note 2- Jika kapasitor 'N' yang memiliki kapasitansi C ₁ , C ₂ , ..., C _N dihubungkan paralel, makaequivalent capacitance akan

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas tentang rangkaian ekivalen kombinasi seri dan kombinasi paralel secara individual. Dalam bab ini, mari kita pecahkan contoh soal dengan mempertimbangkan kombinasi seri dan paralel dari elemen pasif serupa.

Contoh

Mari kita temukan equivalent resistance melintasi terminal A & B jaringan listrik berikut.

Kami akan mendapatkan resistansi yang setara di seluruh terminal A & B dengan meminimalkan jaringan di atas menjadi resistor tunggal di antara kedua terminal tersebut. Untuk ini, kami harus melakukannyaidentify the combination of resistors yang dihubungkan dalam bentuk seri dan bentuk paralel dan kemudian mencari resistansi ekivalen dari bentuk masing-masing di setiap langkah.

Jaringan listrik yang diberikan adalah modified menjadi bentuk berikut seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Dalam gambar di atas, huruf C ke G digunakan untuk memberi label pada berbagai terminal.

Step 1 - Di jaringan di atas, dua 6 Ω resistors terhubung dalam parallel. Jadi, resistansi yang setara antara D & E adalah 3 Ω. Ini dapat diperoleh dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

Dalam jaringan di atas, resistor 4 Ω dan 8 Ω terhubung dalam series. Jadi, resistansi ekivalen antara F & G adalah 12 Ω. Ini dapat diperoleh dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

Step 2 - Listrik yang disederhanakan network after Step 1 ditunjukkan pada gambar berikut.

Di jaringan di atas, dua 3 Ω resistors terhubung dalam series. Jadi, resistansi yang setara antara C & E akan menjadi6 Ω. Ini dapat diperoleh dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

Step 3 - Listrik yang disederhanakan network after Step 2 ditunjukkan pada gambar berikut.

Dalam jaringan di atas, resistor 6 Ω dan 12 Ω terhubung dalam parallel. Jadi, resistansi setara antara C & B adalah 4 Ω. Ini dapat diperoleh dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

Step 4 - Listrik yang disederhanakan network after Step 3 ditunjukkan pada gambar berikut.

Dalam jaringan di atas, resistor 2 Ω dan 4 Ω terhubung dalam seriesantara terminal A & B. Jadi, resistansi ekivalen antara A & B adalah 6 Ω. Ini dapat diperoleh dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

Oleh karena itu, resistansi ekivalen antara terminal A & B dari jaringan listrik yang diberikan adalah 6 Ω.

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas contoh masalah terkait resistansi ekuivalen. Di sana, kami menghitungequivalent resistanceantara terminal A & B yang diberikan jaringan listrik dengan mudah. Karena pada setiap tahapan didapatkan kombinasi resistor yang dihubungkan baik dalam bentuk seri maupun paralel.

Namun, dalam beberapa situasi, sulit untuk menyederhanakan jaringan dengan mengikuti pendekatan sebelumnya. Misalnya, resistor yang dihubungkan dalam bentuk delta (δ) atau bentuk bintang. Dalam situasi seperti itu, kami harus melakukannyaconvertjaringan dari satu bentuk ke bentuk lainnya untuk disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan kombinasi deret atau kombinasi paralel. Dalam bab ini, mari kita bahas tentangDelta to Star Conversion.

Jaringan Delta

Simak berikut ini delta network seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Persamaan berikut mewakili equivalent resistance antara dua terminal jaringan delta, ketika terminal ketiga tetap terbuka.

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Star Network

Gambar berikut menunjukkan equivalent star network sesuai dengan jaringan delta di atas.

Persamaan berikut mewakili equivalent resistance antara dua terminal jaringan bintang, ketika terminal ketiga tetap terbuka.

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

Star Network Resistances dalam hal Resistensi Jaringan Delta

Kita akan mendapatkan persamaan berikut dengan menyamakan suku sisi kanan dari persamaan di atas yang suku sisi kirinya sama.

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Dengan menambahkan tiga persamaan di atas, kita akan mendapatkan

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

Kurangi Persamaan 2 dari Persamaan 4.

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Dengan mengurangi Persamaan 3 dari Persamaan 4, kita akan mendapatkan

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Dengan mengurangi Persamaan 1 dari Persamaan 4, kita akan mendapatkan

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Dengan menggunakan relasi di atas, kita dapat mengetahui resistansi jaringan star dari resistansi jaringan delta. Dengan cara ini, kita dapat mengubah filedelta network menjadi star network.

Contoh

Mari kita hitung resistances of star network, yang setara dengan jaringan delta seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Mengingat resistances of delta networksebagai R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω dan R ₃ = 30 Ω.

Kita tahu hubungan berikut dari resistansi jaringan bintang dalam hal resistansi jaringan delta.

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Gantikan nilai R ₁ , R ₂ dan R ₃ dalam persamaan di atas.

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

Jadi, kami mendapat resistansi jaringan bintang sebagai R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω dan R_C = 3 Ω, yang setara dengan resistansi jaringan delta yang diberikan.

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas tentang konversi jaringan delta menjadi jaringan star yang setara. Sekarang, mari kita bahas tentang konversi jaringan bintang menjadi jaringan delta yang setara. Konversi ini disebut sebagaiStar to Delta Conversion.

Di bab sebelumnya, kami mendapatkan file resistances of star network dari jaringan delta sebagai

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Resistensi Jaringan Delta dalam hal Resistensi Jaringan Star

Mari kita manipulasi persamaan di atas untuk mendapatkan resistansi jaringan delta dalam hal resistansi jaringan star.

• Multiply setiap set dari dua persamaan dan kemudian add.

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

• Dengan membagi Persamaan 4 dengan Persamaan 2, kita akan mendapatkan

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• Dengan membagi Persamaan 4 dengan Persamaan 3, kita akan mendapatkan

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• Dengan membagi Persamaan 4 dengan Persamaan 1, kita akan mendapatkan

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Dengan menggunakan relasi di atas, kita dapat mengetahui resistansi jaringan delta dari resistansi jaringan star. Dengan cara ini, kita bisa pindah agamastar network into delta network.

Contoh

Mari kita hitung resistances of delta network, yang setara dengan jaringan bintang seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Mengingat resistances of star networksebagai R _A = 6 Ω, R _B = 18 Ω dan R _C = 3 Ω .

Kami tahu hubungan berikut dari resistances of delta network dalam hal resistensi jaringan bintang.

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Gantikan nilai R _A , R _B, dan R _C dalam persamaan di atas.

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

Jadi, kami mendapat resistansi jaringan delta sebagai R₁ = 10 Ω, R₂ = 60 Ω dan R₃ = 30 Ω, yang setara dengan resistansi jaringan bintang yang diberikan.

Topologi jaringan adalah representasi grafis dari rangkaian listrik. Ini berguna untuk menganalisis rangkaian listrik yang kompleks dengan mengubahnya menjadi grafik jaringan. Topologi jaringan juga disebut sebagaiGraph theory.

Terminologi Dasar Topologi Jaringan

Sekarang, mari kita bahas tentang terminologi dasar yang terlibat dalam topologi jaringan ini.

Grafik

Grafik jaringan disebut sebagai graph. Ini terdiri dari satu set node yang dihubungkan oleh cabang. Dalam grafik, node adalah titik persekutuan dari dua cabang atau lebih. Terkadang, hanya satu cabang yang dapat terhubung ke node. Cabang adalah ruas garis yang menghubungkan dua node.

Sirkuit atau jaringan listrik apa pun dapat diubah menjadi padanannya graphdengan mengganti elemen pasif dan sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka. Artinya, segmen garis pada grafik mewakili cabang-cabang yang berhubungan dengan elemen pasif atau sumber tegangan rangkaian listrik.

Contoh

Mari kita simak berikut ini electric circuit.

Di sirkuit di atas, ada four principal nodes dan mereka diberi label dengan 1, 2, 3, dan 4. Ada seven branches pada rangkaian di atas, di antaranya satu cabang berisi sumber tegangan 20 V, cabang lain berisi sumber arus 4 A dan lima cabang lainnya berisi resistor yang masing-masing memiliki resistansi 30 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 10 Ω dan 20 Ω.

Setara graph sesuai dengan rangkaian listrik di atas ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada grafik di atas, ada four nodesdan masing-masing diberi label dengan 1, 2, 3 & 4. Ini sama dengan node utama dalam rangkaian listrik. Adasix branches pada grafik di atas dan masing-masing diberi label dengan a, b, c, d, e & f.

Dalam hal ini, kami mendapat one branch less dalam grafik karena sumber arus 4 A dibuat sebagai rangkaian terbuka, sekaligus mengubah rangkaian listrik menjadi grafik ekuivalennya.

Dari Contoh ini, kita dapat menyimpulkan poin-poin berikut -

• Itu number of nodes hadir dalam grafik akan sama dengan jumlah node utama yang ada dalam rangkaian listrik.

• Itu number of branches hadir dalam grafik akan kurang dari atau sama dengan jumlah cabang yang ada dalam rangkaian listrik.

Jenis Grafik

Berikut adalah jenis-jenis grafiknya -

• Grafik Terhubung
• Grafik Tidak Terhubung
• Grafik Berarah
• Grafik Tidak Berarah

Sekarang, mari kita bahas grafik tersebut satu per satu.

Grafik Terhubung

Jika terdapat setidaknya satu cabang antara salah satu dari dua node grafik, maka itu disebut sebagai a connected graph. Artinya, setiap node pada graph yang terhubung akan memiliki satu atau lebih cabang yang terhubung dengannya. Jadi, tidak ada node yang akan ditampilkan sebagai terisolasi atau terpisah.

Grafik yang ditunjukkan pada Contoh sebelumnya adalah a connected graph. Di sini, semua node dihubungkan oleh tiga cabang.

Grafik Tidak Terhubung

Jika terdapat setidaknya satu node dalam grafik yang tetap tidak terhubung bahkan oleh satu cabang, maka itu disebut sebagai unconnected graph. Jadi, akan ada satu atau lebih node yang terisolasi dalam grafik yang tidak terhubung.

Perhatikan grafik yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada grafik ini, node 2, 3, dan 4 dihubungkan oleh dua cabang masing-masing. Tapi, tidak ada satu pun cabang yang terhubung kenode 1. Jadi, simpul 1 menjadiisolated node. Oleh karena itu, grafik di atas adalahunconnected graph.

Grafik Berarah

Jika semua cabang dari suatu grafik diwakili oleh panah, maka grafik tersebut disebut sebagai a directed graph. Tanda panah ini menunjukkan arah aliran arus di setiap cabang. Karenanya, grafik ini juga disebut sebagaioriented graph.

Perhatikan grafik yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada grafik di atas, arah aliran arus direpresentasikan dengan panah di setiap cabang. Oleh karena itu, ini adalah adirected graph.

Grafik Tidak Berarah

Jika cabang dari suatu grafik tidak diwakili oleh panah, maka grafik tersebut disebut sebagai undirected graph. Karena tidak ada arah aliran arus, grafik ini disebut juga sebagaiunoriented graph.

Grafik yang ditunjukkan pada Contoh pertama bab ini adalah unoriented graph, karena tidak ada panah di cabang grafik itu.

Subgraf dan Jenisnya

Bagian dari grafik disebut sebagai a subgraph. Kami mendapatkan subgraf dengan menghapus beberapa node dan / atau cabang dari grafik tertentu. Jadi, jumlah cabang dan / atau node subgraf akan lebih sedikit dari graf aslinya. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa subgraf adalah himpunan bagian dari grafik.

Berikut ini adalah two types dari subgraf.

• Tree
• Co-Tree

Pohon

Pohon adalah subgraf terhubung dari grafik tertentu, yang berisi semua node dari grafik. Tapi, seharusnya tidak ada loop di subgraf itu. Cabang-cabang pohon disebut sebagaitwigs.

Simak berikut ini connected subgraph grafik, yang ditunjukkan pada Contoh di awal bab ini.

Subgraf yang terhubung ini berisi keempat node dari grafik yang diberikan dan tidak ada loop. Oleh karena itu, ini adalah aTree.

Pohon ini hanya memiliki tiga cabang dari enam cabang grafik yang diberikan. Karena, jika kita menganggap bahkan satu cabang dari cabang grafik yang tersisa, maka akan ada loop pada subgraf yang terhubung di atas. Kemudian, subgraf terhubung yang dihasilkan tidak akan menjadi Pohon.

Dari Pohon di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa number of branches yang ada di Pohon harus sama dengan n - 1 di mana 'n' adalah jumlah node dari grafik yang diberikan.

Co-Tree

Co-Tree adalah subgraf, yang dibentuk dengan cabang-cabang yang dibuang saat membentuk Pohon. Oleh karena itu, disebut sebagaiComplementdari Pohon. Untuk setiap Pohon, akan ada Co-Tree yang sesuai dan cabangnya disebut sebagailinksatau akord. Secara umum, tautan direpresentasikan dengan garis putus-putus.

Itu Co-Tree sesuai dengan Pohon di atas ditunjukkan pada gambar berikut.

Co-Tree ini hanya memiliki tiga node, bukan empat node dari grafik yang diberikan, karena Node 4 diisolasi dari Co-Tree di atas. Oleh karena itu, Co-Tree tidak perlu berupa subgraf yang terhubung. Co-Tree ini memiliki tiga cabang dan membentuk lingkaran.

Itu number of branchesyang ada di pohon pendamping akan sama dengan selisih antara jumlah cabang dari grafik tertentu dan jumlah ranting. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

Dimana,

• l adalah jumlah tautan.
• b adalah jumlah cabang yang ada dalam grafik tertentu.
• n adalah jumlah node yang ada dalam grafik tertentu.

Jika kita menggabungkan Pohon dan Co-Tree yang sesuai, maka kita akan mendapatkan file original graph seperti gambar dibawah.

Cabang pohon d, e & f diwakili dengan garis padat. Cabang Co-Tree a, b & c diwakili dengan garis putus-putus.

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas cara mengubah rangkaian listrik menjadi grafik ekuivalen. Sekarang, mari kita bahas Matriks Topologi Jaringan yang berguna untuk menyelesaikan masalah rangkaian listrik atau jaringan dengan menggunakan grafik ekuivalennya.

Matriks Terkait dengan Grafik Jaringan

Berikut adalah tiga matriks yang digunakan dalam teori graf.

• Matriks Insiden
• Matriks Putaran Fundamental
• Matriks Set Potong Fundamental

Matriks Insiden

Incidence Matrix merepresentasikan grafik dari rangkaian atau jaringan listrik tertentu. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menggambar grafik dari rangkaian listrik atau jaringan yang sama dariincidence matrix.

Kita tahu bahwa graph terdiri dari sekumpulan node yang dihubungkan oleh beberapa cabang. Jadi, menghubungkan cabang ke node disebut sebagai insiden. Incidence matrix direpresentasikan dengan huruf A. Ini juga disebut sebagai node to branch incidence matrix ataunode incidence matrix.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka matriks insiden akan memiliki baris 'n' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom sesuai dengan node dan cabang dari grafik berarah. Oleh karena itu,order matriks insiden akan n × b.

Itu elements of incidence matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Jika arus cabang keluar dari node yang dipilih, maka nilai elemen akan menjadi +1.

• Jika arus cabang masuk menuju node yang dipilih, maka nilai elemennya adalah -1.

• Jika arus cabang tidak masuk pada simpul yang dipilih atau keluar dari simpul yang dipilih, maka nilai elemennya adalah 0.

Prosedur untuk menemukan Incidence Matrix

Ikuti langkah-langkah berikut untuk menemukan matriks insiden dari graf berarah.

• Pilih node pada saat grafik terarah yang diberikan dan isi nilai elemen matriks insiden yang sesuai dengan node tersebut dalam satu baris.

• Ulangi langkah di atas untuk semua node dari grafik terarah yang diberikan.

Contoh

Simak berikut ini directed graph.

Itu incidence matrix sesuai dengan grafik diarahkan di atas akan

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili node dan cabang dari grafik terarah yang diberikan. Urutan matriks insiden ini adalah 4 × 6.

Dengan mengamati matriks insiden di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa summationelemen kolom matriks insiden sama dengan nol. Artinya, arus cabang keluar dari satu simpul dan masuk ke simpul tunggal lainnya saja.

Note- Jika graf yang diberikan bertipe tidak berarah, maka konversikan menjadi graf berarah dengan merepresentasikan panah pada tiap cabangnya. Kita dapat mempertimbangkan arah aliran arus yang sewenang-wenang di setiap cabang.

Matriks Putaran Fundamental

Putaran fundamental atau f-loopadalah sebuah lingkaran, yang hanya berisi satu tautan dan satu atau lebih ranting. Jadi, jumlah f-loop sama dengan jumlah link. Matriks loop fundamental diwakili dengan huruf B. Ini juga disebut sebagaifundamental circuit matrixdan matriks Tie-set. Matriks ini memberikan hubungan antara arus cabang dan arus tautan.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka jumlah tautan yang ada dalam pohon pendamping, yang sesuai dengan pohon terpilih dari grafik yang diberikan akan menjadi b-n + 1.

Jadi, matriks loop fundamental akan memiliki baris 'b-n + 1' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom berhubungan dengan tautan dari pohon bersama dan cabang dari grafik yang diberikan. Oleh karena itu, urutan matriks loop fundamental akan menjadi(b - n + 1) × b.

Itu elements of fundamental loop matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Nilai elemen akan menjadi +1 untuk tautan loop-f yang dipilih.

• Nilai elemen akan menjadi 0 untuk tautan dan ranting yang tersisa, yang bukan merupakan bagian dari f-loop yang dipilih.

• Jika arah arus twig pada f-loop yang dipilih sama dengan arus f-loop link, maka nilai elemennya adalah +1.

• Jika arah arus twig pada f-loop yang dipilih berlawanan dengan arus f-loop link, maka nilai elemennya adalah -1.

Prosedur untuk menemukan Matriks Loop Fundamental

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan matriks loop fundamental dari graf berarah yang diberikan.

• Pilih pohon grafik terarah yang diberikan.

• Dengan memasukkan satu tautan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu f-loop. Isi nilai elemen yang sesuai dengan loop-f ini dalam satu baris matriks loop fundamental.

• Ulangi langkah di atas untuk semua tautan.

Contoh

Lihatlah Pohon berikut dari directed graph, yang dipertimbangkan untuk matriks insiden.

Pohon di atas berisi tiga cabang d, e & f. Oleh karena itu, cabang a, b & c akan menjadi penghubung dari Pohon Bersama yang sesuai dengan Pohon di atas. Dengan memasukkan satu tautan pada satu waktu ke Pohon di atas, kita akan mendapatkannyaf-loop. Jadi, akan ada tigaf-loops, karena ada tiga tautan. Ketiga f-loop ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada gambar di atas, cabang yang direpresentasikan dengan garis berwarna membentuk f-loop. Kita akan mendapatkan nilai elemen bijak baris dari matriks Tie-set dari setiap f-loop. SehinggaTieset matrix dari Pohon yang dianggap di atas akan

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili tautan dan cabang dari grafik berarah yang diberikan. Urutan matriks insiden ini adalah 3 × 6.

Itu number of Fundamental loop matricesdari grafik berarah akan sama dengan jumlah Pohon dari grafik berarah itu. Karena, setiap Pohon akan memiliki satu matriks loop Fundamental.

Matriks Cut-set Fundamental

Set potongan fundamental atau f-cut setadalah jumlah minimum cabang yang dihilangkan dari grafik sedemikian rupa sehingga grafik asli akan menjadi dua subgraf yang terpisah. Set f-cut hanya berisione twigdan satu atau lebih tautan. Jadi, jumlah set f-cut akan sama dengan jumlah ranting.

Fundamental cut set matrix diwakili dengan huruf C. Matriks ini memberikan hubungan antara tegangan cabang dan tegangan ranting.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka jumlah ranting yang ada di Pohon terpilih dari grafik yang diberikan adalah n-1. Jadi, matriks himpunan potongan fundamental akan memiliki baris 'n-1' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom sesuai dengan ranting pohon dan cabang yang dipilih dari grafik yang diberikan. Oleh karena itu,order dari matriks set potong dasar akan (n-1) × b.

Itu elements of fundamental cut set matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Nilai elemen akan menjadi +1 untuk ranting dari f-cutset yang dipilih.

• Nilai elemen akan menjadi 0 untuk ranting dan tautan yang tersisa, yang bukan bagian dari f-cutset yang dipilih.

• Jika arah arus link set f-cut yang dipilih sama dengan arus twig f-cutset, maka nilai elemen akan menjadi +1.

• Jika arah arus link dari set f-cut yang dipilih berlawanan dengan arus f-cutset twig, maka nilai elemennya adalah -1.

Prosedur untuk menemukan Matriks Cut-set Fundamental

Ikuti langkah-langkah berikut untuk menemukan matriks himpunan potongan fundamental dari graf berarah yang diberikan.

• Pilih Pohon dari grafik berarah yang diberikan dan mewakili tautan dengan garis putus-putus.

• Dengan menghapus satu ranting dan tautan yang diperlukan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu set f-cut. Isi nilai elemen yang sesuai dengan set f-cut ini dalam satu baris matriks set potongan dasar.

• Ulangi langkah di atas untuk semua ranting.

Contoh

Pertimbangkan hal yang sama directed graph , yang telah kita diskusikan di bagian matriks insiden. Pilih cabang d, e & f dari grafik berarah ini sebagai ranting. Jadi, cabang a, b & c yang tersisa dari grafik berarah ini akan menjadi tautan.

Itu twigs d, e & f diwakili dengan garis padat dan links a, b & c direpresentasikan dengan garis putus-putus pada gambar berikut.

Dengan menghapus satu ranting dan tautan yang diperlukan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu set f-cut. Jadi, akan ada tiga set f-cut, karena ada tiga ranting. Tiga inif-cut sets ditunjukkan pada gambar berikut.

Kami akan memiliki tiga set f-cut dengan membuang satu set ranting dan tautan dari C ₁ , C ₂ dan C ₃ . Kita akan mendapatkan nilai elemen bijak baris dari matriks set potongan dasar dari setiap set f-cut. Sehinggafundamental cut set matrix dari Pohon yang dianggap di atas akan

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili ranting dan cabang dari grafik berarah yang diberikan. Urutan matriks himpunan potongan fundamental ini adalah 3 × 6.

Itu number of Fundamental cut set matricesdari grafik berarah akan sama dengan jumlah Pohon dari grafik berarah itu. Karena, setiap Pohon akan memiliki satu matriks set potong Fundamental.

Superposition theoremdidasarkan pada konsep linieritas antara respon dan eksitasi rangkaian listrik. Ini menyatakan bahwa respons dalam cabang tertentu dari rangkaian linier ketika beberapa sumber independen bertindak pada saat yang sama setara dengan jumlah respons karena setiap sumber independen bekerja pada satu waktu.

Dalam metode ini, kami hanya akan mempertimbangkan one independent sourcepada suatu waktu. Jadi, kami harus menghilangkan sumber independen yang tersisa dari sirkuit. Kita dapat menghilangkan sumber tegangan dengan menyingkat dua terminalnya dan juga, sumber arus dengan membuka dua terminalnya.

Oleh karena itu, kita perlu mencari respon di cabang tertentu ‘n’ timesjika ada 'n' sumber independen. Respons di cabang tertentu bisa berupa arus yang mengalir melalui cabang itu atau tegangan di cabang itu.

Prosedur Teorema Superposisi

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan respons dalam cabang tertentu menggunakan teorema superposisi.

Step 1 - Temukan respons di cabang tertentu dengan mempertimbangkan satu sumber independen dan menghilangkan sumber independen yang tersisa yang ada di jaringan.

Step 2 - Ulangi Langkah 1 untuk semua sumber independen yang ada di jaringan.

Step 3 - Tambahkan semua respons untuk mendapatkan respons keseluruhan di cabang tertentu ketika semua sumber independen ada di jaringan.

Contoh

Temukan arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dari rangkaian berikut menggunakan superposition theorem.

Step 1 - Mari kita cari arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω hanya dengan mempertimbangkan 20 V voltage source. Dalam hal ini, kita dapat menghilangkan sumber arus 4 A dengan membuat rangkaian terbukanya. Diagram rangkaian yang dimodifikasi ditunjukkan pada gambar berikut.

Hanya ada satu node utama kecuali Ground di sirkuit di atas. Jadi, kita bisa menggunakannodal analysismetode. Tegangan node V ₁ diberi label pada gambar berikut. Di sini, V ₁ adalah tegangan dari node 1 terhadap ground.

Itu nodal equation di node 1 adalah

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

Itu current flowing through 20 Ω resistor dapat ditemukan dengan melakukan penyederhanaan berikut.

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

Gantikan nilai V ₁ pada persamaan di atas.

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

Oleh karena itu arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω adalah 0.4 A, jika hanya sumber tegangan 20 V yang dipertimbangkan.

Step 2 - Mari kita cari arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω hanya dengan mempertimbangkan 4 A current source. Dalam hal ini, kita dapat menghilangkan sumber tegangan 20 V dengan membuat korsleting. Diagram rangkaian yang dimodifikasi ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada rangkaian di atas, ada tiga resistor di sebelah kiri terminal A & B. Kita dapat mengganti resistor ini dengan satu equivalent resistor. Di sini, resistor 5 Ω & 10 Ω dihubungkan paralel dan seluruh kombinasi seri dengan resistor 10 Ω.

Itu equivalent resistance di sebelah kiri terminal A & B akan

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Diagram rangkaian yang disederhanakan ditunjukkan pada gambar berikut.

Kita dapat mengetahui arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω, dengan menggunakan current division principle.

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Pengganti $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ dan $R_2 = 20 \Omega$ dalam persamaan di atas.

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

Oleh karena itu arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω adalah 1.6 A, ketika hanya 4 sumber arus yang dipertimbangkan.

Step 3 - Kami akan mendapatkan arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dari rangkaian yang diberikan dengan melakukan addition of two currents yang kita dapatkan di langkah 1 dan 2. Secara matematis, dapat ditulis sebagai

$$I = I_1 + I_2$$

Gantikan, nilai dari I ₁ dan I ₂ pada persamaan di atas.

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

Oleh karena itu, arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dari rangkaian yang diberikan adalah 2 A.

Note - Kita tidak dapat menerapkan teorema superposisi secara langsung untuk mencari jumlah powerdikirim ke resistor mana pun yang ada dalam rangkaian linier, hanya dengan melakukan penambahan daya yang dikirim ke resistor itu karena masing-masing sumber independen. Sebaliknya, kita dapat menghitung arus total yang mengalir atau tegangan melintasi resistor itu dengan menggunakan teorema superposisi dan dari situ, kita dapat menghitung jumlah daya yang dikirim ke resistor itu menggunakan$I^2 R$ atau $\frac{V^2}{R}$.

Thevenin’s theoremmenyatakan bahwa setiap dua jaringan atau rangkaian linier terminal dapat diwakili dengan jaringan atau rangkaian ekuivalen, yang terdiri dari sumber tegangan secara seri dengan resistor. Ini dikenal sebagai sirkuit ekivalen Thevenin. Sirkuit linier dapat berisi sumber independen, sumber dependen, dan resistor.

Jika rangkaian berisi beberapa sumber independen, sumber dependen, dan resistor, maka respons dalam suatu elemen dapat dengan mudah ditemukan dengan mengganti seluruh jaringan di sebelah kiri elemen itu dengan a Thevenin’s equivalent circuit.

Itu response in an element dapat berupa tegangan melintasi elemen itu, arus yang mengalir melalui elemen itu, atau daya yang dihamburkan melintasi elemen itu.

Konsep ini diilustrasikan pada gambar berikut.

Thevenin’s equivalent circuitmenyerupai sumber tegangan praktis. Oleh karena itu, ia memiliki sumber tegangan secara seri dengan resistor.

• Sumber tegangan yang ada di rangkaian ekivalen Thevenin disebut sebagai tegangan ekivalen Thevenin atau sederhananya Thevenin’s voltage, V_Th.

• Resistor yang ada dalam rangkaian ekivalen Thevenin disebut sebagai resistor ekivalen Thevenin atau sederhananya Thevenin’s resistor, R_Th.

Metode untuk Menemukan Sirkuit Ekuivalen Thevenin

Ada tiga metode untuk menemukan rangkaian ekivalen Thevenin. Berdasarkantype of sourcesyang ada di jaringan, kita dapat memilih salah satu dari tiga metode ini. Sekarang, mari kita bahas dua metode satu per satu. Kami akan membahas metode ketiga di bab berikutnya.

Metode 1

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan rangkaian ekivalen Thevenin, jika hanya sources of independent type hadir.

• Step 1 - Pertimbangkan diagram sirkuit dengan membuka terminal yang berkenaan dengan sirkuit ekivalen Thevenin.

• Step 2 - Temukan voltase Thevenin V_Th melintasi terminal terbuka dari sirkuit di atas.

• Step 3 - Temukan perlawanan Thevenin R_Th melintasi terminal terbuka dari rangkaian di atas dengan menghilangkan sumber independen yang ada di dalamnya.

• Step 4 - Gambarlah Thevenin’s equivalent circuitdengan menghubungkan tegangan Thevenin V _Th secara seri dengan resistansi Thevenin R _Th .

Sekarang, kita dapat menemukan respons dalam elemen yang terletak di sisi kanan rangkaian ekivalen Thevenin.

Contoh

Temukan arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dengan terlebih dahulu mencari a Thevenin’s equivalent circuit di sebelah kiri terminal A dan B.

Step 1 - Untuk menemukan rangkaian ekivalen Thevenin di sisi kiri terminal A & B, kita harus melepaskan resistor 20 Ω dari jaringan dengan opening the terminals A & B. Diagram rangkaian yang dimodifikasi ditunjukkan pada gambar berikut.

Step 2 - Perhitungan Thevenin’s voltage V_Th.

Hanya ada satu node utama kecuali Ground di sirkuit di atas. Jadi, kita bisa menggunakannodal analysismetode. Tegangan node V ₁ dan tegangan Thevenin V _Th diberi label pada gambar di atas. Di sini, V ₁ adalah tegangan dari node 1 terhadap Ground dan V _Th adalah tegangan pada sumber arus 4 A.

• Itu nodal equation di node 1 adalah

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

• Tegangan pada resistor 10 Ω cabang seri adalah

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

• Ada dua mata jaring di sirkuit di atas. ItuKVL equation sekitar jala kedua

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

• Gantikan nilai dari $V_1$ dan $V_{10 \Omega}$ dalam persamaan di atas.

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

• Oleh karena itu, tegangan Thevenin adalah $V_{Th} = \frac{200}{3}V$

Step 3 - Perhitungan Thevenin’s resistance R_Th.

Hubung singkat sumber tegangan dan hubung -singkatkan sumber arus dari rangkaian di atas untuk menghitung resistansi Thevenin R _Th melintasi terminal A & B.modified circuit diagram ditunjukkan pada gambar berikut.

Resistensi Thevenin melintasi terminal A & B akan terjadi

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Oleh karena itu, perlawanan Thevenin adalah $\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$.

Step 4- Sirkuit ekivalen Thevenin ditempatkan di sebelah kiri terminal A & B di sirkuit yang diberikan. Diagram rangkaian ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω dapat diketahui dengan mensubstitusi nilai V _Th , R _Th dan R pada persamaan berikut.

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

Oleh karena itu, arus yang mengalir melalui resistor 20 Ω adalah 2 A.

Metode 2

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan rangkaian ekivalen Thevenin, saat sources of both independent type and dependent type hadir.

• Step 1 - Pertimbangkan diagram sirkuit dengan membuka terminal yang dengannya, sirkuit ekivalen Thevenin dapat ditemukan.

• Step 2 - Temukan voltase Thevenin V_Th melintasi terminal terbuka dari sirkuit di atas.

• Step 3 - Temukan arus hubung singkat I_SC dengan korsleting dua terminal terbuka dari sirkuit di atas.

• Step 4 - Temukan perlawanan Thevenin R_Th dengan menggunakan rumus berikut.

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

Step 5 - Gambarlah Thevenin’s equivalent circuitdengan menghubungkan tegangan Thevenin V _Th secara seri dengan resistansi Thevenin R _Th .

Sekarang, kita dapat menemukan respons dalam elemen yang terletak di sisi kanan rangkaian ekivalen Thevenin.

Norton’s theoremmirip dengan teorema Thevenin. Ini menyatakan bahwa setiap dua jaringan atau rangkaian linier terminal dapat diwakili dengan jaringan atau rangkaian ekuivalen, yang terdiri dari sumber arus secara paralel dengan resistor. Ini dikenal sebagaiNorton’s equivalent circuit. Sirkuit linier dapat berisi sumber independen, sumber dependen, dan resistor.

Jika rangkaian memiliki beberapa sumber independen, sumber dependen, dan resistor, maka respons dalam elemen dapat dengan mudah ditemukan dengan mengganti seluruh jaringan di sebelah kiri elemen itu dengan Norton’s equivalent circuit.

Itu response in an element dapat berupa tegangan melintasi elemen itu, arus yang mengalir melalui elemen itu atau daya yang dihamburkan melintasi elemen itu.

Konsep ini diilustrasikan pada gambar berikut.

Norton’s equivalent circuitmenyerupai sumber arus praktis. Oleh karena itu, ia memiliki sumber arus yang paralel dengan resistor.

• Sumber arus yang ada di rangkaian ekuivalen Norton disebut sebagai arus ekivalen Norton atau sederhananya Norton’s current I_N.

• Resistor yang ada di rangkaian ekivalen Norton disebut sebagai resistor ekivalen Norton atau sederhananya Norton’s resistor R_N.

Metode untuk Menemukan Sirkuit Ekuivalen Norton

Ada three methodsuntuk menemukan sirkuit ekivalen Norton. Berdasarkan jenis sumber yang ada di jaringan, kita dapat memilih salah satu dari tiga metode ini. Sekarang, mari kita bahas ketiga metode ini satu per satu.

Metode 1

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan rangkaian ekuivalen Norton, jika hanya sources of independent type hadir.

• Step 1 - Pertimbangkan diagram sirkuit dengan membuka terminal yang dengannya, sirkuit ekivalen Norton dapat ditemukan.

• Step 2 - Temukan Norton saat ini I_N dengan korsleting dua terminal terbuka dari sirkuit di atas.

• Step 3 - Temukan perlawanan Norton R_Nmelintasi terminal terbuka rangkaian yang dipertimbangkan pada Langkah 1 dengan menghilangkan sumber independen yang ada di dalamnya. Perlawanan NortonR_N akan sama dengan perlawanan Thevenin R_Th.

• Step 4 - Gambarlah Norton’s equivalent circuitdengan menghubungkan DI Norton saat ini secara paralel dengan resistansi Norton R _N .

Sekarang, kita dapat menemukan respons dalam elemen yang terletak di sisi kanan rangkaian ekivalen Norton.

Method 2

Follow these steps in order to find the Norton’s equivalent circuit, when the sources of both independent type and dependent type are present.

• Step 1 − Consider the circuit diagram by opening the terminals with respect to which the Norton’s equivalent circuit is to be found.

• Step 2 − Find the open circuit voltage V_OC across the open terminals of the above circuit.

• Step 3 − Find the Norton’s current I_N by shorting the two opened terminals of the above circuit.

• Step 4 − Find Norton’s resistance R_N by using the following formula.

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

• Step 5 − Draw the Norton’s equivalent circuit by connecting a Norton’s current I_N in parallel with Norton’s resistance R_N.

Now, we can find the response in an element that lies to the right side of Norton’s equivalent circuit.

Method 3

This is an alternate method for finding a Norton’s equivalent circuit.

• Step 1 − Find a Thevenin’s equivalent circuit between the desired two terminals. We know that it consists of a Thevenin’s voltage source, V_Th and Thevenin’s resistor, R_Th.

• Step 2 − Apply source transformation technique to the above Thevenin’s equivalent circuit. We will get the Norton’s equivalent circuit. Here,

Norton’s current,

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

Norton’s resistance,

$$R_N = R_{Th}$$

This concept is illustrated in the following figure.

Now, we can find the response in an element by placing Norton’s equivalent circuit to the left of that element.

Note − Similarly, we can find the Thevenin’s equivalent circuit by finding a Norton’s equivalent circuit first and then apply source transformation technique to it. This concept is illustrated in the following figure.

This is the Method 3 for finding a Thevenin’s equivalent circuit.

Example

Find the current flowing through 20 Ω resistor by first finding a Norton’s equivalent circuit to the left of terminals A and B.

Let us solve this problem using Method 3.

Step 1 − In previous chapter, we calculated the Thevenin’s equivalent circuit to the left side of terminals A & B. We can use this circuit now. It is shown in the following figure.

Here, Thevenin’s voltage, $V_{Th} = \frac{200}{3} V$ and Thevenin’s resistance, $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 − Apply source transformation technique to the above Thevenin’s equivalent circuit. Substitute the values of V_Th and R_Th in the following formula of Norton’s current.

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

Therefore, Norton’s current I_N is 5 A.

We know that Norton’s resistance, R_N is same as that of Thevenin’s resistance R_Th.

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

The Norton’s equivalent circuit corresponding to the above Thevenin’s equivalent circuit is shown in the following figure.

Now, place the Norton’s equivalent circuit to the left of the terminals A & B of the given circuit.

By using current division principle, the current flowing through the 20 Ω resistor will be

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

Therefore, the current flowing through the 20 Ω resistor is 2 A.

The amount of power received by a load is an important parameter in electrical and electronic applications. In DC circuits, we can represent the load with a resistor having resistance of R_L ohms. Similarly, in AC circuits, we can represent it with a complex load having an impedance of Z_L ohms.

Maximum power transfer theorem states that the DC voltage source will deliver maximum power to the variable load resistor only when the load resistance is equal to the source resistance.

Similarly, Maximum power transfer theorem states that the AC voltage source will deliver maximum power to the variable complex load only when the load impedance is equal to the complex conjugate of source impedance.

In this chapter, let us discuss about the maximum power transfer theorem for DC circuits.

Proof of Maximum Power Transfer Theorem

Replace any two terminal linear network or circuit to the left side of variable load resistor having resistance of R_L ohms with a Thevenin’s equivalent circuit. We know that Thevenin’s equivalent circuit resembles a practical voltage source.

This concept is illustrated in following figures.

The amount of power dissipated across the load resistor is

$$P_L = I^2 R_L$$

Substitute $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ in the above equation.

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ Equation 1

Condition for Maximum Power Transfer

For maximum or minimum, first derivative will be zero. So, differentiate Equation 1 with respect to R_L and make it equal to zero.

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:or\:R_L = R_{Th}$$

Therefore, the condition for maximum power dissipation across the load is $R_L = R_{Th}$. That means, if the value of load resistance is equal to the value of source resistance i.e., Thevenin’s resistance, then the power dissipated across the load will be of maximum value.

The value of Maximum Power Transfer

Substitute $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ in Equation 1.

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: since \: R_{L} = R_{Th}$$

Therefore, the maximum amount of power transferred to the load is

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

Efficiency of Maximum Power Transfer

We can calculate the efficiency of maximum power transfer, $\eta_{Max}$ using following formula.

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ Equation 2

Where,

• $P_{L, Max}$ is the maximum amount of power transferred to the load.

• $P_S$ is the amount of power generated by the source.

The amount of power generated by the source is

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:since\:R_{L} = R_{Th}$$

• Substitute $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ in the above equation.

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• Substitute the values of $P_{L, Max}$ and $P_S$ in Equation 2.

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

We can represent the efficiency of maximum power transfer in terms of percentage as follows −

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

Therefore, the efficiency of maximum power transfer is 50 %.

Example

Find the maximum power that can be delivered to the load resistor R_L of the circuit shown in the following figure.

Step 1 − In Thevenin’s Theorem chapter, we calculated the Thevenin’s equivalent circuit to the left side of terminals A & B. We can use this circuit now. It is shown in the following figure.

Here, Thevenin’s voltage $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ and Thevenin’s resistance $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 − Replace the part of the circuit, which is left side of terminals A & B of the given circuit with the above Thevenin’s equivalent circuit. The resultant circuit diagram is shown in the following figure.

Step 3- Kita dapat mengetahui daya maksimum yang akan dikirim ke resistor beban, R _L dengan menggunakan rumus berikut.

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

Pengganti $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ dan $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ dalam rumus di atas.

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

Oleh karena itu, maximum power yang akan dikirim ke resistor beban RL dari rangkaian yang diberikan $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

Jika keluaran dari rangkaian listrik untuk suatu masukan bervariasi terhadap waktu, maka disebut sebagai time response. Tanggapan waktu terdiri dari dua bagian berikut.

• Respon sementara
• Respon Stabil

Dalam bab ini, pertama-tama mari kita bahas tentang dua respons ini dan kemudian amati dua respons ini dalam rangkaian RL seri, ketika dieksitasi oleh sumber tegangan DC.

Respon sementara

Setelah menerapkan input ke rangkaian listrik, output membutuhkan waktu tertentu untuk mencapai kondisi tunak. Jadi, output akan berada dalam kondisi transien hingga mencapai kondisi mapan. Oleh karena itu, respons rangkaian listrik selama keadaan transien dikenal sebagaitransient response.

Respon transien akan menjadi nol untuk nilai besar 't'. Idealnya, nilai 't' ini tidak terbatas. Tapi, secara praktisfive time constants cukup.

Ada atau Tidak Ada Transien

Transien terjadi dalam respons karena sudden changedalam sumber yang diterapkan ke sirkuit listrik dan / atau karena aksi sakelar. Ada dua kemungkinan tindakan pengalihan. Itu adalah saklar pembuka dan saklar penutup.

• Itu transient sebagian akan not presentdalam respons rangkaian listrik atau jaringan, jika hanya mengandung resistansi. Karenaresistor adalah memiliki kemampuan untuk mengatur sejumlah tegangan dan arus.

• Itu transient part occurs dalam respons rangkaian atau jaringan listrik karena adanya elemen penyimpan energi seperti inductor and capacitor. Karena mereka tidak dapat mengubah energi yang tersimpan dalam elemen tersebut secara instan.

Perilaku Induktor

Asumsikan aksi switching terjadi pada t = 0.Inductor currenttidak berubah secara instan, saat tindakan pengalihan terjadi. Itu berarti, nilai arus induktor tepat setelah tindakan pengalihan akan sama dengan nilai sebelum tindakan pengalihan.

Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

Perilaku Kapasitor

Itu capacitor voltagetidak berubah secara instan mirip dengan arus induktor, ketika aksi switching terjadi. Itu berarti, nilai tegangan kapasitor setelah aksi switching akan sama dengan sebelum aksi switching.

Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

Respon Stabil

Bagian dari respon waktu yang tersisa bahkan setelah respon transien menjadi nilai nol untuk nilai besar 't' dikenal sebagai steady state response. Artinya, tidak akan ada bagian sementara dalam respons selama kondisi stabil.

Perilaku Induktor

Jika sumber independen dihubungkan ke rangkaian atau jaringan listrik yang memiliki satu atau lebih induktor dan resistor (opsional) untuk waktu yang lama, maka rangkaian atau jaringan listrik tersebut dikatakan dalam keadaan stabil. Oleh karena itu, energi yang disimpan dalam induktor dari rangkaian listrik tersebut adalah maksimum dan konstan.

Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ Maksimum & konstan

$\Rightarrow i_L = $ Maksimum & konstan

Oleh karena itu, induktor bertindak sebagai a constant current source dalam kondisi mapan.

Tegangan di induktor akan

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

Jadi, induktor bertindak sebagai a short circuit dalam kondisi mapan.

Perilaku Kapasitor

Jika sumber independen dihubungkan ke rangkaian atau jaringan listrik yang memiliki satu atau lebih kapasitor dan resistor (opsional) dalam waktu yang lama, maka rangkaian atau jaringan listrik tersebut dikatakan dalam keadaan stabil. Oleh karena itu, energi yang disimpan dalam kapasitor rangkaian listrik tersebut adalah maksimum dan konstan.

Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ Maksimum & konstan

$\Rightarrow v_c = $Maksimum & konstan

Oleh karena itu, kapasitor bertindak sebagai a constant voltage source dalam kondisi mapan.

Arus yang mengalir melalui kapasitor akan

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

Jadi, kapasitor bertindak sebagai sebuah open circuit dalam kondisi mapan.

Menemukan Respon Rangkaian RL Seri

Simak berikut ini series RL circuit diagram.

Di sirkuit di atas, switch disimpan openhingga t = 0 dan ditutup pada t = 0. Jadi, sumber tegangan DC yang memiliki V volt tidak terhubung ke rangkaian RL seri hingga saat ini. Oleh karena itu, adano initial current mengalir melalui induktor.

Diagram sirkuit, saat switch masuk closed posisinya ditunjukkan pada gambar berikut.

Sekarang, arusnya i mengalir di seluruh rangkaian, karena memiliki sumber tegangan DC V volt terhubung ke rangkaian RL seri.

Sekarang, terapkan KVL di sekitar lingkaran.

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$Equation 1

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu dan berbentuk

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$Equation 2

Oleh comparing Persamaan 1 dan Persamaan 2, kita akan mendapatkan relasi berikut.

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

Itu solution dari Persamaan 2 akan

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$Equation 3

Dimana, k adalah konstanta.

Gantikan nilai dari x, y, P & Q pada persamaan 3.

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$Equation 4

Kita tahu bahwa tidak ada arus awal di sirkuit. Oleh karena itu, substitusi, t = 0 dan = 0 dalam Persamaan 4 untuk mencari nilai konstanta k.

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

Gantikan, nilai k dalam Persamaan 4.

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

Oleh karena itu, current mengalir melalui rangkaian tersebut

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$Equation 5

Jadi, respons rangkaian RL seri, ketika dieksitasi oleh sumber tegangan DC, memiliki dua istilah berikut.

• Istilah pertama $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ sesuai dengan transient response.

• Istilah kedua $\frac{V}{R}$ sesuai dengan steady state response. Kedua tanggapan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

Persamaan 5 dapat ditulis ulang sebagai berikut -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$Equation 6

Dimana, τ adalah time constant dan nilainya sama dengan $\frac{L}{R}$.

Persamaan 5 dan Persamaan 6 sama. Tetapi, kita dapat dengan mudah memahami bentuk gelombang arus di atas yang mengalir melalui rangkaian dari Persamaan 6 dengan mengganti beberapa nilait seperti 0, τ, 2τ, 5τ, dll.

Dalam bentuk gelombang arus yang mengalir melalui rangkaian di atas, respons transien akan menampilkan hingga lima konstanta waktu dari nol, sedangkan respons kondisi tunak akan muncul dari lima konstanta waktu dan seterusnya.

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas respon transient dan respon steady state rangkaian DC. Dalam bab ini, mari kita bahasresponse of AC circuit. Konsep respons transient dan respons kondisi tunak, yang telah kita bahas di bab sebelumnya, juga akan berguna di sini.

Menemukan Respon Rangkaian RL Seri

Simak berikut ini series RL circuit diagram.

Di sirkuit di atas, switch disimpan opensampai t = 0 dan ditutup pada t = 0 . Jadi, sumber tegangan AC yang memiliki tegangan puncak V _m volt tidak terhubung ke rangkaian RL seri hingga saat ini. Oleh karena itu, adano initial current mengalir melalui induktor.

Diagram sirkuit, saat switch masuk closed posisi, ditunjukkan pada gambar berikut.

Sekarang, arus i (t) mengalir di seluruh rangkaian, karena sumber tegangan AC yang memiliki tegangan puncak V _m volt dihubungkan ke rangkaian RL seri.

Kita tahu bahwa arus i (t) yang mengalir melalui rangkaian di atas akan memiliki dua suku, satu yang mewakili bagian transien dan istilah lainnya mewakili kondisi tunak.

Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$Equation 1

Dimana,

• $i_{Tr}(t)$ adalah respon transien dari arus yang mengalir melalui rangkaian.

• $i_{ss}(t)$ adalah respon kondisi tunak dari arus yang mengalir melalui rangkaian.

Pada bab sebelumnya, kita mendapatkan respon transien dari arus yang mengalir melalui rangkaian RL seri. Itu dalam bentuk$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$.

Pengganti $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ dalam Persamaan 1.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$Equation 2

Perhitungan Arus Stabil

Jika sinyal sinusoidal diterapkan sebagai masukan pada rangkaian listrik Linear, maka ia menghasilkan keluaran keadaan tunak, yang juga merupakan a sinusoidal signal. Baik sinyal sinusoidal input maupun output akan memiliki frekuensi yang sama, tetapi amplitudo dan sudut fasa berbeda.

Kita dapat menghitung respon steady state dari suatu rangkaian listrik, ketika digairahkan oleh sumber tegangan sinusoidal menggunakan Laplace Transform approach.

Diagram sirkuit domain-s, ketika switch masuk closed posisi, ditunjukkan pada gambar berikut.

Di sirkuit di atas, semua kuantitas dan parameter diwakili s-domain. Ini adalah transformasi Laplace dari kuantitas dan parameter domain waktu.

Itu Transfer function dari rangkaian di atas adalah

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

Pengganti $s = j \omega$ dalam persamaan di atas.

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

Magnitude of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ adalah

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

Phase angle of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ adalah

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

Kami akan mendapatkan steady state current $i_{ss}(t)$ dengan melakukan dua langkah berikut -

• Kalikan tegangan puncak tegangan sinusoidal masukan dan besarnya $H(j \omega)$.

• Tambahkan sudut fasa tegangan sinusoidal masukan dan $H(j \omega)$.

Itu steady state current $i_{ss}(t)$ akan

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Gantikan nilai $i_{ss}(t)$ dalam Persamaan 2.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 3

Kita tahu bahwa tidak ada arus awal di sirkuit. Jadi, gantikan t = 0 & i (t) = 0 dalam Persamaan 3 untuk mencari nilai konstanta, K.

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Gantikan nilai K dalam Persamaan 3.

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 4

Persamaan 4 merepresentasikan arus yang mengalir melalui rangkaian RL seri, ketika dieksitasi oleh sumber tegangan sinusoidal. Ini memiliki dua istilah. Suku pertama dan kedua masing-masing mewakili respon transien dan respon kondisi tunak dari arus.

Kita dapat neglect the first termPersamaan 4 karena nilainya akan sangat kurang dari satu. Jadi, arus resultan yang mengalir melalui rangkaian akan menjadi

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Ini hanya berisi steady state term. Oleh karena itu, kita hanya dapat menemukan respon kondisi tunak dari rangkaian AC dan mengabaikan respon transiennya.

Resonanceterjadi di sirkuit listrik karena adanya elemen penyimpan energi seperti induktor dan kapasitor. Ini adalah konsep fundamental yang mendasari, penerima radio dan TV dirancang sedemikian rupa sehingga mereka harus dapat memilih hanya frekuensi stasiun yang diinginkan.

Ada two typesresonansi, yaitu resonansi seri dan resonansi paralel. Ini diklasifikasikan berdasarkan elemen jaringan yang terhubung secara seri atau paralel. Dalam bab ini, mari kita bahas tentang resonansi deret.

Diagram Rangkaian Resonansi Seri

Jika resonansi terjadi pada rangkaian RLC seri, maka disebut sebagai Series Resonance. Simak berikut iniseries RLC circuit, yang direpresentasikan dalam domain fasor.

Di sini, elemen pasif seperti resistor, induktor dan kapasitor dihubungkan secara seri. Seluruh kombinasi ini masukseries dengan masukan sumber tegangan sinusoidal.

Menerapkan KVL di sekitar lingkaran.

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$Equation 1

Persamaan di atas berbentuk V = IZ.

Oleh karena itu, impedance Z rangkaian RLC seri akan

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Parameter & Kuantitas Listrik pada Resonansi

Sekarang, mari kita turunkan nilai parameter dan besaran listrik pada resonansi rangkaian RLC seri satu per satu.

Frekuensi resonansi

Frekuensi terjadinya resonansi disebut sebagai resonant frequency f_r. Dalam rangkaian RLC resonansi seri terjadi, ketika istilah imajiner dari impedansi Z adalah nol, yaitu nilai$X_L - X_C$ harus sama dengan nol.

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Pengganti $X_L = 2 \pi f L$ dan $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ dalam persamaan di atas.

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Oleh karena itu, resonant frequency f_r rangkaian RLC seri ini

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Dimana, L adalah induktansi dari induktor dan C adalah kapasitansi kapasitor.

Itu resonant frequency f_r Rangkaian RLC seri hanya bergantung pada induktansi L dan kapasitansi C. Tapi, itu tidak tergantung pada perlawananR.

Impedansi

Kami mendapatkan impedance Z rangkaian RLC seri sebagai

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Pengganti $X_L = X_C$ dalam persamaan di atas.

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

Pada resonansi, impedance Z Rangkaian RLC seri sama dengan nilai resistansi R, yaitu, Z = R.

Arus mengalir melalui Sirkuit

Pengganti $X_L - X_C = 0$ dalam Persamaan 1.

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

Karena itu, current mengalir melalui rangkaian RLC seri pada resonansi $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$.

Pada resonansi, impedansi rangkaian RLC seri mencapai nilai minimum. Oleh karena itu,maximum current mengalir melalui sirkuit ini pada resonansi.

Tegangan melintasi Resistor

Tegangan resistor adalah

$$V_R = IR$$

Gantikan nilai I dalam persamaan di atas.

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

Oleh karena itu, voltage across resistor pada resonansi adalah V_R = V.

Tegangan melintasi Induktor

Tegangan induktor adalah

$$V_L = I(jX_L)$$

Gantikan nilai I dalam persamaan di atas.

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

Oleh karena itu, voltage across inductor pada resonansi adalah $V_L = j QV$.

Sehingga magnitude tegangan induktor pada resonansi akan

$$|V_L| = QV$$

Dimana Q adalah Quality factor dan nilainya sama dengan $\frac{X_L}{R}$

Tegangan melintasi Kapasitor

Tegangan kapasitor adalah

$$V_C = I(-j X_C)$$

Gantikan nilai I dalam persamaan di atas.

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

Oleh karena itu, voltage across capacitor pada resonansi adalah $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$.

Sehingga magnitude tegangan kapasitor pada resonansi akan

$$|V_C| = QV$$

Dimana Q adalah Quality factor dan nilainya sama dengan $\frac{X_{C}}{R}$

Note - Rangkaian RLC resonansi seri disebut sebagai voltage magnificationsirkuit, karena besarnya tegangan induktor dan kapasitor sama dengan Q kali input sinusoidal tegangan V .

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas pentingnya resonansi deret. Sekarang, mari kita bahas resonansi paralel di sirkuit RLC.

Diagram Sirkuit Resonansi Paralel

Jika resonansi terjadi pada rangkaian RLC paralel, maka disebut sebagai Parallel Resonance. Simak berikut iniparallel RLC circuit, yang direpresentasikan dalam domain fasor.

Di sini, elemen pasif seperti resistor, induktor dan kapasitor dihubungkan secara paralel. Seluruh kombinasi ini masukparallel dengan masukan sumber arus sinusoidal.

Menulis nodal equation di node P.

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$Equation 1

Persamaan di atas berbentuk I = VY.

Oleh karena itu, admittance Y dari rangkaian RLC paralel akan

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Parameter & Kuantitas Listrik pada Resonansi

Sekarang, mari kita turunkan nilai parameter dan besaran listrik pada resonansi rangkaian RLC paralel satu per satu.

Frekuensi resonansi

Kami tahu bahwa resonant frequency, f_radalah frekuensi terjadinya resonansi. Dalam rangkaian RLC paralel resonansi terjadi, ketika istilah imajiner admitansi, Y adalah nol. yaitu, nilai$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ harus sama dengan nol

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Kondisi resonansi di atas sama dengan rangkaian RLC seri. Sehinggaresonant frequency, f_r akan sama di kedua rangkaian RLC seri dan rangkaian RLC paralel.

Oleh karena itu, resonant frequency, f_r dari rangkaian RLC paralel adalah

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

Dimana,

• L adalah induktansi induktor.
• C adalah kapasitansi kapasitor.

Itu resonant frequency, f_r Rangkaian RLC paralel hanya bergantung pada induktansi L dan kapasitansi C. Tapi, itu tidak tergantung pada perlawananR.

Masuk

Kami mendapatkan admittance Y rangkaian RLC paralel sebagai

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Pengganti, $X_L = X_C$ dalam persamaan di atas.

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

Pada resonansi, admittance, Y dari rangkaian RLC paralel sama dengan kebalikan dari resistansi, R. yaitu, $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

Tegangan di setiap Elemen

Pengganti, $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$ dalam Persamaan 1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

Oleh karena itu, voltage di semua elemen rangkaian RLC paralel pada resonansi V = IR.

Pada resonansi, penerimaan rangkaian RLC paralel mencapai nilai minimum. Karenanya,maximum voltage hadir di setiap elemen rangkaian ini pada resonansi.

Arus mengalir melalui Resistor

Arus yang mengalir melalui resistor adalah

$$I_R = \frac{V}{R}$$

Gantikan nilai V dalam persamaan di atas.

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

Oleh karena itu, current flowing through resistor pada resonansi adalah $\mathbf{\mathit{I_R = I}}$.

Arus mengalir melalui Induktor

Arus yang mengalir melalui induktor adalah

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

Gantikan nilai V dalam persamaan di atas.

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

Oleh karena itu, current flowing through inductor pada resonansi adalah $I_L = -jQI$.

Sehingga magnitude arus yang mengalir melalui induktor pada resonansi akan

$$|I_L| = QI$$

Dimana, Q adalah Quality factor dan nilainya sama dengan $\frac{R}{X_L}$

Arus mengalir melalui Kapasitor

Arus yang mengalir melalui kapasitor adalah

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

Gantikan nilai V dalam persamaan di atas.

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

Oleh karena itu, current flowing through capacitor pada resonansi adalah $I_C = jQI$

Sehingga magnitude arus yang mengalir melalui kapasitor pada resonansi akan

$$|I_C| = QI$$

Dimana, Q adalah Quality factor dan nilainya sama dengan $\frac{R}{X_C}$

Note - Rangkaian RLC resonansi paralel disebut sebagai current magnificationsirkuit. Sebab, besarnya arus yang mengalir melalui induktor dan kapasitor adalah sama dengan Q kali input sinusoidal saat saya .

Sirkuit listrik dikatakan a coupled circuit, ketika ada induktansi timbal balik antara kumparan (atau induktor) yang ada di sirkuit itu. Coil tidak lain adalah rangkaian kombinasi resistor dan induktor. Dengan tidak adanya resistor, kumparan menjadi induktor. Terkadang, istilah kumparan dan induktor digunakan secara bergantian.

Pada bab ini, pertama mari kita bahas tentang konvensi titik dan selanjutnya akan membahas tentang klasifikasi kopling.

Dot Convention

Konvensi titik adalah suatu teknik yang memberikan rincian tentang polaritas tegangan pada terminal titik-titik. Informasi ini berguna, saat menulis persamaan KVL.

• Jika arus masuk ke terminal titik-titik dari satu kumparan (atau induktor), maka itu menginduksi tegangan pada kumparan lain (atau induktor), yang memiliki positive polarity di terminal bertitik.

• Jika arus keluar dari terminal titik-titik dari satu kumparan (atau induktor), maka itu menginduksi tegangan pada kumparan lain (atau induktor), yang memiliki negative polarity di terminal bertitik.

Klasifikasi Kopling

Kami dapat mengklasifikasikan coupling ke dalam dua kategori berikut.

• Kopling Listrik
• Kopling Magnetik

Sekarang, mari kita bahas tentang masing-masing jenis kopling satu per satu.

Kopling Listrik

Kopling listrik terjadi, jika ada a physical connectionantara dua kumparan (atau induktor). Kopling ini dapat berupa tipe pembantu atau tipe berlawanan. Ini didasarkan pada apakah arus masuk di terminal titik-titik atau keluar dari terminal titik-titik.

Kopling tipe Aiding

Perhatikan rangkaian listrik berikut, yang memiliki dua induktor yang dihubungkan series.

Karena kedua induktor dihubungkan secara seri, maka same current Imengalir melalui kedua induktor yang memiliki induktansi sendiri L ₁ dan L ₂ .

Dalam hal ini, arus, saya masukkan di terminal titik-titik dari setiap induktor. Oleh karena itu, tegangan induksi di setiap induktor akan dimilikipositive polarity di terminal putus-putus karena arus yang mengalir di koil lain.

Menerapkan KVL di sekitar loop sirkuit listrik atau jaringan di atas.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

Persamaan di atas berbentuk $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Oleh karena itu, equivalent inductance dari kombinasi seri induktor yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

Dalam hal ini, induktansi ekuivalen telah ditingkatkan sebesar 2M. Oleh karena itu, rangkaian listrik di atas adalah contohnyaelectrical kopling yang dari aiding Tipe.

Kopling tipe Lawan

Perhatikan rangkaian listrik berikut, yang memiliki dua induktor yang dihubungkan series.

Di rangkaian di atas, arus I masuk ke terminal titik-titik dari induktor yang memiliki induktansi L₁. Oleh karena itu, ini menginduksi tegangan pada induktor lain yang memiliki induktansiL₂. Begitu,positive polarity dari tegangan induksi hadir di terminal titik-titik induktor ini.

Di rangkaian di atas, arus I daun dari terminal bertitik induktor yang memiliki induktansi L₂. Oleh karena itu, ini menginduksi tegangan pada induktor lain yang memiliki induktansiL₁. Begitu,negative polarity dari tegangan induksi hadir di terminal titik-titik induktor ini.

Menerapkan KVL di sekitar loop sirkuit listrik atau jaringan di atas.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

Persamaan di atas berbentuk $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Oleh karena itu, equivalent inductance dari kombinasi seri induktor yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

Dalam hal ini, induktansi ekuivalen telah dikurangi sebesar 2M. Oleh karena itu, rangkaian listrik di atas adalah contohnyaelectrical kopling yang dari opposing Tipe.

Magnetic Coupling

Magnetic coupling occurs, when there is no physical connection between two coils (or inductors). This coupling can be of either aiding type or opposing type. It is based on whether the current enters at the dotted terminal or leaves from the dotted terminal.

Coupling of Aiding type

Consider the following electrical equivalent circuit of transformer. It is having two coils and these are called as primary and secondary coils.

The currents flowing through primary and secondary coils are i₁ and i₂ respectively. In this case, these currents enter at the dotted terminal of respective coil. Hence, the induced voltage in each coil will be having positive polarity at the dotted terminal due to the current flowing in another coil.

Apply KVL around primary coil.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$Equation 1

Apply KVL around secondary coil.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$Equation 2

In Equation 1 and Equation 2, the self-induced voltage and mutually induced voltage have the same polarity. Hence, the above transformer circuit is an example of magnetic coupling, which is of aiding type.

Coupling of Opposing Type

Consider the following electrical equivalent circuit of transformer.

The currents flowing through primary and secondary coils are i₁ and i₂ respectively. In this case, the current, i₁ enters at the dotted terminal of primary coil. Hence, it induces a voltage in secondary coil. So, positive polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this secondary coil.

In the above circuit, the current, i₂ leaves from the dotted terminal of secondary coil. Hence, it induces a voltage in primary coil. So, negative polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this primary coil.

Apply KVL around primary coil.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$Equation 3

Apply KVL around secondary coil.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$Equation 4

In Equation 3 and Equation 4, self-induced voltage and mutually induced voltage are having opposite polarity. Hence, the above transformer circuit is an example of magnetic coupling, which is of opposing type.

In general, it is easy to analyze any electrical network, if it is represented with an equivalent model, which gives the relation between input and output variables. For this, we can use two port network representations. As the name suggests, two port networks contain two ports. Among which, one port is used as an input port and the other port is used as an output port. The first and second ports are called as port1 and port2 respectively.

One port network is a two terminal electrical network in which, current enters through one terminal and leaves through another terminal. Resistors, inductors and capacitors are the examples of one port network because each one has two terminals. One port network representation is shown in the following figure.

Here, the pair of terminals, 1 & 1’ represents a port. In this case, we are having only one port since it is a one port network.

Similarly, two port network is a pair of two terminal electrical network in which, current enters through one terminal and leaves through another terminal of each port. Two port network representation is shown in the following figure.

Here, one pair of terminals, 1 & 1’ represents one port, which is called as port1 and the other pair of terminals, 2 & 2’ represents another port, which is called as port2.

There are four variables V₁, V₂, I₁ and I₂ in a two port network as shown in the figure. Out of which, we can choose two variables as independent and another two variables as dependent. So, we will get six possible pairs of equations. These equations represent the dependent variables in terms of independent variables. The coefficients of independent variables are called as parameters. So, each pair of equations will give a set of four parameters.

Two Port Network Parameters

The parameters of a two port network are called as two port network parameters or simply, two port parameters. Following are the types of two port network parameters.

• Z parameters
• Y parameters
• T parameters
• T’ parameters
• h-parameters
• g-parameters

Now, let us discuss about these two port network parameters one by one.

Z parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & V₂ as dependent and I₁ & I₂ as independent. The coefficients of independent variables, I₁ and I₂ are called as Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

The Z parameters are

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Z parameters are called as impedance parameters because these are simply the ratios of voltages and currents. Units of Z parameters are Ohm (Ω).

We can calculate two Z parameters, Z₁₁ and Z₂₁, by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two Z parameters, Z₁₂ and Z₂₂ by doing open circuit of port1. Hence, the Z parameters are also called as open-circuit impedance parameters.

Y parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables I₁ & I₂ as dependent and V₁ & V₂ as independent. The coefficients of independent variables, V₁ and V₂ are called as Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

The Y parameters are

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

Y parameters are called as admittance parameters because these are simply, the ratios of currents and voltages. Units of Y parameters are mho.

We can calculate two Y parameters, Y₁₁ and Y₂₁ by doing short circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two Y parameters, Y₁₂ and Y₂₂ by doing short circuit of port1. Hence, the Y parameters are also called as short-circuit admittance parameters.

T parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & I₁ as dependent and V₂ & I₂ as independent. The coefficients of V₂ and -I₂ are called as T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

The T parameters are

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

T parameters are called as transmission parameters or ABCD parameters. The parameters, A and D do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, B and C are ohm and mho respectively.

We can calculate two parameters, A and C by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, B and D by doing short circuit of port2.

T ’ parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₂ & I₂ as dependent and V₁ & I₁ as independent. The coefficients of V₁ and -I₁ are called as T’ parameters.

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

The T’ parameters are

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: when\: V_1 = 0$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_1 = 0$$

T’ parameters are called as inverse transmission parameters or A’B’C’D’ parameters. The parameters A’ and D’ do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, B’ and C’, are Ohm and Mho respectively.

We can calculate two parameters, A’ and C’, by doing an open circuit of port1. Similarly, we can calculate the other two parameters, B’ and D’, by doing a short circuit of port1.

h-parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & I₂ as dependent and I₁ & V₂ as independent. The coefficients of independent variables, I₁ and V₂, are called as h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

The h-parameters are

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

h-parameters are called as hybrid parameters. The parameters, h₁₂ and h₂₁, do not have any units, since those are dimension-less. The units of parameters, h₁₁ and h₂₂, are Ohm and Mho respectively.

We can calculate two parameters, h₁₁ and h₂₁ by doing short circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, h₁₂ and h₂₂ by doing open circuit of port1.

The h-parameters or hybrid parameters are useful in transistor modelling circuits (networks).

g-parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables I₁ & V₂ as dependent and V₁ & I₂ as independent. The coefficients of independent variables, V₁ and I₂ are called as g-parameters.

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

The g-parameters are

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: when\: V_1 = 0$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: when \: V_1 = 0$$

g-parameters are called as inverse hybrid parameters. The parameters, g₁₂ and g₂₁ do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, g₁₁ and g₂₂ are mho and ohm respectively.

We can calculate two parameters, g₁₁ and g₂₁ by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, g₁₂ and g₂₂ by doing short circuit of port1.

In the previous chapter, we discussed about six types of two-port network parameters. Now, let us convert one set of two-port network parameters into other set of two port network parameters. This conversion is known as two port network parameters conversion or simply, two-port parameters conversion.

Sometimes, it is easy to find one set of parameters of a given electrical network easily. In those situations, we can convert these parameters into the required set of parameters instead of calculating these parameters directly with more difficulty.

Now, let us discuss about some of the two port parameter conversions.

Procedure of two port parameter conversions

Follow these steps, while converting one set of two port network parameters into the other set of two port network parameters.

• Step 1 − Write the equations of a two port network in terms of desired parameters.

• Step 2 − Write the equations of a two port network in terms of given parameters.

• Step 3 − Re-arrange the equations of Step2 in such a way that they should be similar to the equations of Step1.

• Step 4 − By equating the similar equations of Step1 and Step3, we will get the desired parameters in terms of given parameters. We can represent these parameters in matrix form.

Z parameters to Y parameters

Here, we have to represent Y parameters in terms of Z parameters. So, in this case Y parameters are the desired parameters and Z parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

We can represent the above two equations in matrix form as

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 1

Step 2 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

We can represent the above two equations in matrix form as

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 − We can modify it as

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 2

Step 4 − By equating Equation 1 and Equation 2, we will get

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

Where,

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

So, just by doing the inverse of Z parameters matrix, we will get Y parameters matrix.

Z parameters to T parameters

Here, we have to represent T parameters in terms of Z parameters. So, in this case T parameters are the desired parameters and Z parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that, the following set of two equations, which represents a two port network in terms of T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 3 − We can modify the above equation as

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 − The above equation is in the form of $I_1 = CV_2 − DI_2$. Here,

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

Step 5 − Substitute $I_1$ value of Step 3 in $V_1$ equation of Step 2.

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 − The above equation is in the form of $V_1 = AV_2 − BI_2$. Here,

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

Step 7 − Therefore, the T parameters matrix is

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

Y parameters to Z parameters

Here, we have to represent Z parameters in terms of Y parameters. So, in this case Z parameters are the desired parameters and Y parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that, the following matrix equation of two port network regarding Z parameters as

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 3

Step 2 - Kita tahu bahwa, persamaan matriks dua jaringan port berikut menyangkut parameter Y sebagai

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - Kita bisa memodifikasinya sebagai

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 4

Step 4 - Dengan menyamakan Persamaan 3 dan Persamaan 4 maka akan didapat

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

Dimana,

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

Jadi, hanya dengan melakukan inverse of Y parameters matrix, kita akan mendapatkan matriks parameter Z.

Parameter Y ke parameter T.

Di sini, kita harus merepresentasikan parameter T dalam kaitannya dengan parameter Y. Jadi, dalam hal ini, parameter T adalah parameter yang diinginkan dan parameter Y adalah parameter yang diberikan.

Step 1 - Kita tahu bahwa, himpunan dua persamaan berikut, yang mewakili jaringan dua port dalam hal T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Kita tahu bahwa himpunan dua persamaan berikut dari dua jaringan port mengenai parameter Y.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Step 3 - Kita dapat memodifikasi persamaan di atas sebagai

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - Persamaan di atas berbentuk $V_1 = AV_2 − BI_2$. Sini,

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

Step 5 - Pengganti $V_1$ nilai Langkah 3 in $I_1$ persamaan Langkah 2.

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - Persamaan di atas berbentuk $I_1 = CV_2 − DI_2$. Sini,

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

Step 7 - Oleh karena itu, T parameters matrix adalah

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

Parameter T ke parameter-h

Di sini, kita harus merepresentasikan h-parameter dalam bentuk parameter T. Jadi, dalam hal ini hparameter adalah parameter yang diinginkan dan parameter T adalah parameter yang diberikan.

Step 1 - Kami tahu itu, berikut ini h-parameters dari jaringan dua port.

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Step 2 - Kita tahu bahwa dua persamaan berikut dari dua jaringan port tentang T parameters.

$V_1 = A V_2 - B I_2$Equation 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$Equation 6

Step 3 - Pengganti $V_2 = 0$ dalam persamaan di atas untuk menemukan dua parameter h, $h_{11}$ dan $h_{21}$.

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

Pengganti, $V_1$ dan $I_1$ nilai-nilai dalam parameter-h, $h_{11}$.

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

Pengganti $I_1$ nilai dalam parameter-h $h_{21}$.

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

Step 4 - Pengganti $I_1 = 0$ dalam persamaan kedua dari langkah 2 untuk mencari parameter h $h_{22}$.

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

Step 5 - Pengganti $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ dalam persamaan pertama dari langkah 2 untuk mencari parameter h, $h_{12}$.

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

Step 6 - Oleh karena itu, matriks parameter-h adalah

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

h-parameter ke parameter Z.

Di sini, kita harus merepresentasikan parameter Z dalam parameter h. Jadi, dalam hal ini parameter Z adalah parameter yang diinginkan dan parameter h adalah parameter yang diberikan.

Step 1 - Kita tahu bahwa, berikut dua persamaan dari dua jaringan port tentang Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 2 - Kita tahu bahwa, dua persamaan berikut dari jaringan dua port tentang h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Step 3 - Kita dapat memodifikasi persamaan di atas sebagai

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Persamaan di atas berbentuk $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2. Here,$

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

Step 4- Gantikan nilai V ₂ pada persamaan pertama langkah 2.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Persamaan di atas berbentuk $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$. Sini,

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

Step 5 - Oleh karena itu, matriks parameter Z adalah

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

Dengan cara ini, kita dapat mengubah satu set parameter menjadi set parameter lainnya.

Filter seperti namanya, mereka memfilter komponen frekuensi. Artinya, mereka mengizinkan komponen frekuensi tertentu dan / atau menolak beberapa komponen frekuensi lainnya.

Dalam bab ini, mari kita bahas tentang passive filters. Itu adalah rangkaian atau jaringan listrik yang memiliki elemen pasif seperti resistor, induktor, dan kapasitor.

Jenis Filter

Filter sebagian besar diklasifikasikan menjadi four typesberdasarkan pita frekuensi yang memungkinkan dan / atau pita frekuensi yang menolak. Berikut adalah jenis-jenis filternya.

• Filter Akses Rendah
• Pass filter tinggi
• Filter Band Pass
• Filter Band Stop

Filter Akses Rendah

Low pass filter seperti namanya, hanya memperbolehkan (melewati) low frequencykomponen. Artinya, ia menolak (memblokir) semua komponen frekuensi tinggi lainnya.

Domain s circuit diagram (jaringan) dari Low Pass Filter ditunjukkan pada gambar berikut.

Ini terdiri dari dua elemen pasif resistor dan kapasitor, yang dihubungkan masuk series. Tegangan input diterapkan di seluruh kombinasi ini dan output dianggap sebagai tegangan kapasitor.

Sini, $V_i(s)$ dan $V_o(s)$ adalah transformasi Laplace dari tegangan input, $v_i(t)$ dan tegangan keluaran, $v_o(t)$ masing-masing.

Itu transfer function dari jaringan di atas

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

Pengganti, $s = j \omega$ dalam persamaan di atas.

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

Besaran fungsi transfer adalah

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Pada ω = 0, besarnya fungsi transfer sama dengan 1.

• Di $\omega = \frac{1}{CR}$, besarnya fungsi transfer sama dengan 0,707.

• Pada ω = ∞, besarnya fungsi transfer sama dengan 0.

Oleh karena itu, besarnya fungsi transfer Low pass filterakan bervariasi dari 1 hingga 0 karena ω bervariasi dari 0 hingga ∞.

Pass filter tinggi

High pass filter seperti namanya, hanya mengizinkan (melewati) high frequencykomponen. Artinya, ia menolak (memblokir) semua komponen frekuensi rendah.

Domain s circuit diagram (jaringan) dari High pass filter ditunjukkan pada gambar berikut.

Ini terdiri dari dua elemen pasif kapasitor dan resistor, yang dihubungkan masuk series. Tegangan input diterapkan di seluruh kombinasi ini dan output dianggap sebagai tegangan melintasi resistor.

Sini, $V_i(s)$ dan $V_o(s)$ adalah transformasi Laplace dari tegangan input, $v_i(t)$ dan tegangan keluaran, $v_o(t)$ masing-masing.

Itu transfer function dari jaringan di atas

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

Pengganti, $s = j \omega$ dalam persamaan di atas.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

Besaran fungsi transfer adalah

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Pada ω = 0, besarnya fungsi transfer sama dengan 0.

• Di $\omega = \frac{1}{CR}$, besarnya fungsi transfer sama dengan 0,707.

• Pada ω = ∞, besarnya fungsi transfer sama dengan 1.

Oleh karena itu, besarnya fungsi transfer High pass filterakan bervariasi dari 0 hingga 1 karena ω bervariasi dari 0 hingga ∞.

Filter Band Pass

Band pass filter seperti namanya allows (lolos) saja one bandfrekuensi. Secara umum pita frekuensi ini terletak di antara rentang frekuensi rendah dan rentang frekuensi tinggi. Artinya, filter ini menolak (memblokir) komponen frekuensi rendah dan tinggi.

Domain s circuit diagram (jaringan) dari Band pass filter ditunjukkan pada gambar berikut.

Ini terdiri dari tiga elemen induktor pasif, kapasitor dan resistor, yang dihubungkan series. Tegangan input diterapkan di seluruh kombinasi ini dan output dianggap sebagai tegangan melintasi resistor.

Sini, $V_i(s)$ dan $V_o(s)$ adalah transformasi Laplace dari tegangan input, $v_i(t)$ dan tegangan keluaran, $v_o(t)$ masing-masing.

Itu transfer function dari jaringan di atas

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Pengganti $s = j \omega$ dalam persamaan di atas.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Besaran fungsi transfer adalah

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Pada ω = 0, besarnya fungsi transfer sama dengan 0.

• Di $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, besarnya fungsi transfer sama dengan 1.

• Pada ω = ∞, besarnya fungsi transfer sama dengan 0.

Oleh karena itu, besarnya fungsi transfer Band pass filterakan bervariasi dari 0 hingga 1 & 1 hingga 0 karena ω bervariasi dari 0 hingga ∞.

Filter Band Stop

Band stop filter seperti namanya, itu menolak (memblokir) hanya satu band frekuensi. Secara umum pita frekuensi ini terletak di antara rentang frekuensi rendah dan rentang frekuensi tinggi. Artinya, filter ini memungkinkan (melewati) komponen frekuensi rendah dan tinggi.

S-domain (jaringan) dari circuit diagramdan filter stop ditunjukkan pada gambar berikut.

Ini terdiri dari tiga elemen pasif resistor, induktor dan kapasitor, yang dihubungkan masuk series. Tegangan input diterapkan di seluruh kombinasi ini dan output dianggap sebagai tegangan pada kombinasi induktor dan kapasitor.

Sini, $V_i(s)$ dan $V_o(s)$ adalah transformasi Laplace dari tegangan input, $v_i(t)$ dan tegangan keluaran, $v_o(t)$ masing-masing.

Itu transfer function dari jaringan di atas

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Pengganti, $s = j \omega$ dalam persamaan di atas.

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Besaran fungsi transfer adalah

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Pada ω = 0, besarnya fungsi transfer sama dengan 1.

• Di $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, besarnya fungsi transfer sama dengan 0.

• Pada ω = ∞, besarnya fungsi transfer sama dengan 1.

Oleh karena itu, besarnya fungsi transfer Band stop filterakan bervariasi dari 1 hingga 0 & 0 hingga 1 karena ω bervariasi dari 0 hingga ∞.