Matriks Topologi Jaringan

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas cara mengubah rangkaian listrik menjadi grafik ekuivalen. Sekarang, mari kita bahas Matriks Topologi Jaringan yang berguna untuk menyelesaikan masalah rangkaian listrik atau jaringan dengan menggunakan grafik ekuivalennya.

Matriks Terkait dengan Grafik Jaringan

Berikut adalah tiga matriks yang digunakan dalam teori graf.

• Matriks Insiden
• Matriks Putaran Fundamental
• Matriks Set Potong Fundamental

Matriks Insiden

Incidence Matrix merepresentasikan grafik dari rangkaian atau jaringan listrik tertentu. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menggambar grafik dari rangkaian listrik atau jaringan yang sama dariincidence matrix.

Kita tahu bahwa graph terdiri dari sekumpulan node yang dihubungkan oleh beberapa cabang. Jadi, menghubungkan cabang ke node disebut sebagai insiden. Incidence matrix direpresentasikan dengan huruf A. Ini juga disebut sebagai node to branch incidence matrix ataunode incidence matrix.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka matriks insiden akan memiliki baris 'n' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom sesuai dengan node dan cabang dari grafik berarah. Oleh karena itu,order matriks insiden akan n × b.

Itu elements of incidence matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Jika arus cabang keluar dari node yang dipilih, maka nilai elemen akan menjadi +1.

• Jika arus cabang masuk menuju node yang dipilih, maka nilai elemennya adalah -1.

• Jika arus cabang tidak masuk pada simpul yang dipilih atau keluar dari simpul yang dipilih, maka nilai elemennya adalah 0.

Prosedur untuk menemukan Incidence Matrix

Ikuti langkah-langkah berikut untuk menemukan matriks insiden dari graf berarah.

• Pilih node pada satu waktu dari grafik terarah yang diberikan dan isi nilai elemen matriks insiden yang sesuai dengan node tersebut secara berurutan.

• Ulangi langkah di atas untuk semua node dari grafik terarah yang diberikan.

Contoh

Simak berikut ini directed graph.

Itu incidence matrix sesuai dengan grafik diarahkan di atas akan

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili node dan cabang dari grafik terarah yang diberikan. Urutan matriks insiden ini adalah 4 × 6.

Dengan mengamati matriks insiden di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa summationelemen kolom matriks insiden sama dengan nol. Artinya, arus cabang keluar dari satu simpul dan masuk ke simpul tunggal lainnya saja.

Note- Jika graf yang diberikan bertipe tidak berarah, maka konversikan menjadi graf berarah dengan merepresentasikan panah pada tiap cabangnya. Kita dapat mempertimbangkan arah aliran arus yang berubah-ubah di setiap cabang.

Matriks Putaran Fundamental

Putaran fundamental atau f-loopadalah lingkaran, yang hanya berisi satu tautan dan satu atau lebih ranting. Jadi, jumlah f-loop akan sama dengan jumlah link. Matriks loop fundamental diwakili dengan huruf B. Ini juga disebut sebagaifundamental circuit matrixdan matriks Tie-set. Matriks ini memberikan hubungan antara arus cabang dan arus tautan.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka jumlah tautan yang ada dalam pohon pendamping, yang sesuai dengan pohon terpilih dari grafik yang diberikan akan menjadi b-n + 1.

Jadi, matriks loop fundamental akan memiliki baris 'b-n + 1' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom berhubungan dengan tautan dari pohon bersama dan cabang dari grafik yang diberikan. Oleh karena itu, urutan matriks loop fundamental akan menjadi(b - n + 1) × b.

Itu elements of fundamental loop matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Nilai elemen akan menjadi +1 untuk tautan loop-f yang dipilih.

• Nilai elemen akan menjadi 0 untuk tautan dan ranting yang tersisa, yang bukan merupakan bagian dari f-loop yang dipilih.

• Jika arah arus twig pada f-loop yang dipilih sama dengan arus f-loop link, maka nilai elemennya adalah +1.

• Jika arah arus twig pada f-loop yang dipilih berlawanan dengan arus f-loop link, maka nilai elemennya adalah -1.

Prosedur untuk menemukan Matriks Putaran Fundamental

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan matriks loop fundamental dari graf berarah yang diberikan.

• Pilih pohon grafik terarah yang diberikan.

• Dengan memasukkan satu tautan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu f-loop. Isi nilai elemen yang sesuai dengan loop-f ini dalam satu baris matriks loop fundamental.

• Ulangi langkah di atas untuk semua tautan.

Contoh

Lihatlah Pohon berikut dari directed graph, yang dipertimbangkan untuk matriks insiden.

Pohon di atas berisi tiga cabang d, e & f. Oleh karena itu, cabang a, b & c akan menjadi penghubung Pohon Bersama yang sesuai dengan Pohon di atas. Dengan memasukkan satu tautan pada satu waktu ke Pohon di atas, kita akan mendapatkannyaf-loop. Jadi, akan ada tigaf-loops, karena ada tiga tautan. Ketiga f-loop ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada gambar di atas, cabang yang direpresentasikan dengan garis berwarna membentuk f-loop. Kita akan mendapatkan nilai elemen bijak baris dari matriks Tie-set dari setiap f-loop. SehinggaTieset matrix dari Pohon yang dianggap di atas akan

$$ B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \ akhir {bmatrix} $$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili tautan dan cabang dari grafik berarah yang diberikan. Urutan matriks insiden ini adalah 3 × 6.

Itu number of Fundamental loop matricesdari grafik berarah akan sama dengan jumlah Pohon dari grafik berarah itu. Karena, setiap Pohon akan memiliki satu matriks loop Fundamental.

Matriks Cut-set Fundamental

Set potong fundamental atau f-cut setadalah jumlah minimum cabang yang dihilangkan dari grafik sedemikian rupa sehingga grafik asli akan menjadi dua subgraf yang terpisah. Set f-cut hanya berisione twigdan satu atau lebih tautan. Jadi, jumlah set f-cut akan sama dengan jumlah ranting.

Fundamental cut set matrix diwakili dengan huruf C. Matriks ini memberikan hubungan antara tegangan cabang dan tegangan ranting.

Jika ada 'n' node dan 'b' cabang ada di a directed graph, maka jumlah ranting yang ada di Pohon terpilih dari grafik yang diberikan adalah n-1. Jadi, matriks himpunan potongan fundamental akan memiliki baris 'n-1' dan kolom 'b'. Di sini, baris dan kolom sesuai dengan ranting pohon dan cabang yang dipilih dari grafik yang diberikan. Oleh karena itu,order dari matriks set potong dasar akan (n-1) × b.

Itu elements of fundamental cut set matrix akan memiliki salah satu dari tiga nilai ini, +1, -1 dan 0.

• Nilai elemen akan menjadi +1 untuk ranting dari f-cutset yang dipilih.

• Nilai elemen akan menjadi 0 untuk ranting dan tautan yang tersisa, yang bukan bagian dari f-cutset yang dipilih.

• Jika arah arus link set f-cut yang dipilih sama dengan arus twig f-cutset, maka nilai elemen akan menjadi +1.

• Jika arah arus link set f-cut yang dipilih berlawanan dengan arus twig f-cutset, maka nilai elemennya adalah -1.

Prosedur untuk menemukan Matriks Cut-set Fundamental

Ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan matriks himpunan potongan fundamental dari graf berarah yang diberikan.

• Pilih Pohon dari grafik terarah yang diberikan dan mewakili tautan dengan garis putus-putus.

• Dengan menghapus satu ranting dan tautan yang diperlukan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu set f-cut. Isi nilai elemen yang sesuai dengan set f-cut ini dalam satu baris matriks set potongan dasar.

• Ulangi langkah di atas untuk semua ranting.

Contoh

Pertimbangkan hal yang sama directed graph , yang telah kita diskusikan di bagian matriks insiden. Pilih cabang d, e & f dari grafik berarah ini sebagai ranting. Jadi, cabang a, b & c yang tersisa dari grafik berarah ini akan menjadi tautan.

Itu twigs d, e & f diwakili dengan garis padat dan links a, b & c direpresentasikan dengan garis putus-putus pada gambar berikut.

Dengan menghapus satu ranting dan tautan yang diperlukan pada satu waktu, kita akan mendapatkan satu set f-cut. Jadi, akan ada tiga set f-cut, karena ada tiga ranting. Tiga inif-cut sets ditunjukkan pada gambar berikut.

Kami akan memiliki tiga set f-cut dengan membuang satu set ranting dan tautan dari C ₁ , C ₂ dan C ₃ . Kita akan mendapatkan nilai elemen bijak baris dari matriks set potongan dasar dari setiap set f-cut. Sehinggafundamental cut set matrix dari Pohon yang dianggap di atas akan

$$ C = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \ akhir {bmatrix} $$

Baris dan kolom dari matriks di atas mewakili ranting dan cabang dari grafik berarah yang diberikan. Urutan matriks himpunan potongan fundamental ini adalah 3 × 6.

Itu number of Fundamental cut set matricesdari grafik berarah akan sama dengan jumlah Pohon dari grafik berarah itu. Karena, setiap Pohon akan memiliki satu matriks himpunan potongan Fundamental.