DSP-DFT離散コサイン変換

DCT（離散コサイン変換）は、線形変換または複素指数の組み合わせとしてのN入力シーケンスx（n）、0≤n≤N-1です。その結果、x（n）が実数であっても、DFT係数は一般に複雑になります。

実数列x（n）を余弦列の線形結合として表現したN×N構造を持つ直交変換を見つけようとするとします。私たちはすでにそれを知っています-

$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

そして$ x（n）= \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x（k）cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

これは、N点シーケンスx（n）が実数で偶数の場合に可能です。したがって、$ x（n）= x（Nn）、0 \ leq n \ leq（N-1）$。結果として得られるDFT自体は現実的で均一です。これらのことから、シーケンスの「偶数拡張」の2NポイントDFTを取得することにより、任意のNポイント実シーケンスに対して離散コサイン変換をデバイス化できる可能性があることが明らかになります。

DCTは、基本的に、画像および音声処理で使用されます。また、画像や音声信号の圧縮にも使用されます。

$ DFT [s（n）] = S（k）= \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s（n）W_ {2N} ^ {nk}、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S（k）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x（2N-n-1）W_ {2N} ^ {nk}; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S（k）= W_ {2N} ^ {-k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）[W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {-nk} W_ {2N} ^ {-k / 2}]; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S（k）= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）\ cos [\ frac {\ pi} { N}（n + \ frac {1} {2}）k]; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCTは、によって定義されます。

$ V（k）= 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）\ cos [\ frac {\ pi} {2}（n + \ frac {1} {2}）k] \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V（k）= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S（k）\ quadまたは\ quad S（k）= W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V（k）、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V（k）= 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）W_ {2N} ^ {nk} ]、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $