DSP-Z変換の解決例

例1

すべての初期条件がゼロの場合のシステム$ s（n + 2）-3s（n + 1）+ 2s（n）= \ delta（n）$の応答を見つけます。

Solution −上記の式の両側でZ変換を行うと、次のようになります。

$$ S（z）Z ^ 2-3S（z）Z ^ 1 + 2S（z）= 1 $$

$ \ Rightarrow S（z）\ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S（z）= \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {（z-2）（z-1）} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S（z）= \ frac {1} {z-2}-\ frac {1} {z-1} $

上記の式の逆Z変換を行うと、次のようになります。

$ S（n）= Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-2}]-Z ^ {-1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

差分方程式が以下のように記述されているシステムのシステム関数H（z）と単位サンプル応答h（n）を見つけます。

$ y（n）= \ frac {1} {2} y（n-1）+ 2x（n）$

ここで、y（n）とx（n）は、それぞれシステムの出力と入力です。

Solution −上記の差分方程式のZ変換を行うと、次のようになります。

$ y（z）= \ frac {1} {2} Z ^ {-1} Y（Z）+ 2X（z）$

$ = Y（Z）[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}] = 2X（Z）$

$ = H（Z）= \ frac {Y（Z）} {X（Z）} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

このシステムには、$ Z = \ frac {1} {2} $および$ Z = 0 $および$ H（Z）= \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^に極があります。 {-1}]} $

したがって、上記の逆Z変換を行うと、次のようになります。

$ h（n）= 2（\ frac {1} {2}）^ nU（n）$

次の場合にY（z）、n≥0を決定します-

$ y（n）+ \ frac {1} {2} y（n-1）-\ frac {1} {4} y（n-2）= 0 \ quadgiven \ quad y（-1）= y（ -2）= 1 $

Solution −上記の式にZ変換を適用すると、次のようになります。

$ Y（Z）+ \ frac {1} {2} [Z ^ {-1} Y（Z）+ Y（-1）]-\ frac {1} {4} [Z ^ {-2} Y（ Z）+ Z ^ {-1} Y（-1）+4（-2）] = 0 $

$ \ Rightarrow Y（Z）+ \ frac {1} {2Z} Y（Z）+ \ frac {1} {2}-\ frac {1} {4Z ^ 2} Y（Z）-\ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y（Z）[1+ \ frac {1} {2Z}-\ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z}-\ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y（Z）[\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y（Z）= \ frac {Z（1-2Z）} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $