DSP-DFT線形フィルタリング

DFTは、時間領域の畳み込みに対する代替アプローチを提供します。周波数領域で線形フィルタリングを実行するために使用できます。

したがって、$ Y（\ omega）= X（\ omega）.H（\ omega）\ longleftrightarrow y（n）$。

この周波数領域アプローチの問題は、$ Y（\ omega）$、$ X（\ omega）$、および$ H（\ omega）$がωの連続関数であるということです。これは、コンピューターでのデジタル計算には役立ちません。ただし、DFTは、目的を解決するためにこれらの波形のサンプルバージョンを提供します。

利点は、FFTのようなより高速なDFT技術の知識を持っているため、時間領域アプローチと比較して、デジタルコンピューター計算用に計算上効率の高いアルゴリズムを開発できることです。

有限期間のシーケンス$ [x（n）= 0、\ quad for、n <0 \ quad and \ quad n \ geq L] $（一般化された方程式）を考えて、インパルス応答$ [h（n ）= 0、\ quad forn <0 \ quad and \ quad n \ geq M] $。

$$ x（n）y（n）$$ $$ output = y（n）= \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h（k）.x（nk）$$

畳み込み分析から、y（n）の持続時間はL + M-1であることが明らかです。

周波数領域では、

$$ Y（\ omega）= X（\ omega）.H（\ omega）$$

ここで、$ Y（\ omega）$はωの連続関数であり、$ L + M-1 $以上でなければならない個別のサンプルの数を持つ離散周波数のセットでサンプリングされます。

$$ DFT \クワッドサイズ= N \ geq L + M-1 $$

$ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $の場合、

$ Y（\ omega）= X（k）.H（k）$、ここでk = 0,1、…。、N-1

ここで、X（k）とH（k）は、それぞれx（n）とh（n）のN点DFTです。$ x（n）\＆h（n）$には、長さNまでゼロが埋め込まれます。連続スペクトル$ X（\ omega）$および$ H（\ omega）$が歪むことはありません。$ N \ geq L + M-1 $であるため、出力シーケンスy（n）のN点DFTは、周波数領域でy（n）を表すのに十分であり、これらの事実は、X（kのN点DFTの乗算を推測します。 ）およびH（k）に続いて、N点IDFTを計算すると、y（n）が得られる必要があります。

これは、ゼロパディングを使用したx（n）とH（n）のN点巡回畳み込みが、x（n）とh（n）の線形畳み込みに等しいことを意味します。

したがって、DFTは線形フィルタリングに使用できます。

Caution−nは常に$ L + M-1 $以上である必要があります。そうしないと、エイリアシング効果によって出力シーケンスが破損します。