DSP-Z変換プロパティ
この章では、Z変換の基本的な特性を理解します。
直線性
2つ以上の個別の離散信号に定数を掛けると、それぞれのZ変換にも同じ定数が掛けられると記載されています。
数学的には、
$$ a_1x_1（n）+ a_2x_2（n）= a_1X_1（z）+ a_2X_2（z）$$Proof −私たちはそれを知っています、
$$ X（Z）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ {-n} $$$ = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty（a_1x_1（n）+ a_2x_2（n））Z ^ {-n} $
$ = a_1 \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ {-n} + a_2 \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ {-n} $
$ = a_1X_1（z）+ a_2X_2（z）$ （したがって証明済み）
ここで、ROCは$ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $です。
タイムシフト
タイムシフトプロパティは、離散信号の時間領域の変化がZ領域にどのように影響するかを示します。これは次のように記述できます。
$$ x（n-n_0）\ longleftrightarrow X（Z）Z ^ {-n} $$または$ x（n-1）\ longleftrightarrow Z ^ {-1} X（Z）$
Proof −
してみましょう$ Y（P）= X（PK）$
$ Y（z）= \ sum_ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ {-p} $
$ = \ sum_ {p =-\ infty} ^ \ infty（x（pk））Z ^ {-p} $
s = pkとします
$ = \ sum_ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ {-（s + k）} $
$ = \ sum_ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ {-s} Z ^ {-k} $
$ = Z ^ {-k} [\ sum_ {s =-\ infty} ^ \ infty x（m）Z ^ {-s}] $
$ = Z ^ {-k} X（Z）$ （したがって証明済み）
ここで、ROCはZ = 0（p> 0）またはZ =∞（p <0）と書くことができます。
例
U（n）とU（n-1）は次のようにプロットできます
U（n）cabのZ変換は次のように記述されます。
$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n）] Z ^ {-n} = 1 $
U（n-1）のZ変換は次のように書くことができます。
$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n-1）] Z ^ {-n} = Z ^ {-1} $
したがって、ここで$ x（n-n_0）= Z ^ {-n_0} X（Z）$ （したがって証明済み）
タイムスケーリング
Time Scalingプロパティは、時間を離散形式でスケーリングしたときに信号のZドメインがどうなるかを示します。これは次のように記述できます。
$$ a ^ nx（n）\ longleftrightarrow X（a ^ {-1} Z）$$Proof −
ましょう$ Y（P）= A ^ {P} X（P）$を
$ Y（P）= \ sum_ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ {-p} $
$ = \ sum_ {p =-\ infty} ^ \ infty a ^ px（p）Z ^ {-p} $
$ = \ sum_ {p =-\ infty} ^ \ infty x（p）[a ^ {-1} Z] ^ {-p} $
$ = X（a ^ {-1} Z）$ （したがって証明済み）
ROC：= Mod（ar1）<Mod（Z）<Mod（ar2）ここで、Mod = Modulus
例
時間スケーリングプロパティを使用して、$ x（n）= a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換を決定しましょう。
Solution −
信号$ \ cos（\ omega n）$のZ変換が−で与えられることはすでに知っています。
$$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty（\ cos \ omega n）Z ^ {-n} =（Z ^ 2-Z \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1）$$
ここで、時間スケーリングプロパティを適用すると、$ a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty（a ^ n \ cos \ omega n）Z ^ {-n} = X（a ^ {-1} Z）$
$ = [（a ^ {-1} Z）^ 2-（a ^ {-1} Z \ cos \ omega n）] /（（a ^ {-1} Z）^ 2-2（a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n）+1）$
$ = Z（Za \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2）$
連続的な差別化
連続微分プロパティは、時間領域で離散信号を時間に関して微分すると、Z変換が行われることを示しています。これを以下に示します。
$$ \ frac {dx（n）} {dn} =（1-Z ^ {-1}）X（Z）$$Proof −
方程式のLHSを考えてみましょう- $ \ frac {dx（n）} {dn} $
$$ = \ frac {[x（n）-x（n-1）]} {[n-（n-1）]} $$$ = x（n）-X（n-1）$
$ = x（Z）-Z ^ {-1} x（Z）$
$ =（1-Z ^ {-1}）x（Z）$ （したがって証明済み）
ROC：R1 <Mod（Z）<R2
例
$ x（n）= n ^ 2u（n）$で与えられる信号のZ変換を見つけましょう
プロパティによって私たちは書くことができます
$ Zz [nU（n）] = -Z \ frac {dZ [U（n）]} {dz} $
$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $
$ = Z /（（Z-1）^ 2 $
$ = y（let）$
これで、プロパティを再度適用することでZ [ny]を見つけることができます。
$ Z（n、y）= -Z \ frac {dy} {dz} $
$ = -Z \ frac {d [Z /（Z-1）^ 3]} {dz} $
$ = Z（Z + 1）/（Z-1）^ 2 $
畳み込み
これは、畳み込みが離散信号形式で発生したときのシステムのZドメインの変化を示しています。これは次のように記述できます。
$ x_1（n）* x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（Z）.X_2（Z）$
Proof −
$ X（Z）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ {-n} $
$ = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）x_2（nk）] Z ^ {-n} $
$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum_n ^ \ infty x_2（nk）Z ^ {-n}] $
$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（nk）Z ^ {-（nk）} Z ^ {-k}] $
nk = lとすると、上記の式は次のように記述できます。
$ X（Z）= \ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[Z ^ {-k} \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x_2（l）Z ^ {-l }] $
$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）X_2（Z）Z ^ {-k} $
$ = X_2（Z）\ sum_ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（Z）Z ^ {-k} $
$ = X_1（Z）.X_2（Z）$ （したがって証明済み）
ROC：$ ROC \ bigcap ROC2 $
例
2つの信号によって与えられる畳み込みを見つけましょう
$ x_1（n）= \ lbrace 3、-2,2 \ rbrace $ ...（式1）
$ x_2（n）= \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quadおよび\ quad 0 \ quad他の場所\ rbrace $ ...（式2）
最初の方程式のZ変換は次のように書くことができます。
$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ {-n} $
$ = 3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} $
2番目の信号のZ変換は次のように書くことができます。
$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ {-n} $
$ = 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4} $
したがって、上記の2つの信号の畳み込みは次の式で与えられます。
$ X（Z）= [x_1（Z）^ * x_2（Z）] $
$ = [3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2}] \ times [2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4 }] $
$ = 6 + 2Z ^ {-1} + 6Z ^ {-2} + 6Z ^ {-3} + ... \ quad ... \ quad ... $
得られた逆Z変換をとると、
$ x（n）= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $
初期値の定理
x（n）が因果シーケンスであり、そのZ変換がX（z）である場合、初期値の定理は次のように記述できます。
$ X（n）（at \ quad n = 0）= \ lim_ {z \ to \ infty} X（z）$
Proof −私たちはそれを知っています、
$ X（Z）= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x（n）Z ^ {-n} $
上記のシリーズを拡張すると、次のようになります。
$ = X（0）Z ^ 0 + X（1）Z ^ {-1} + X（2）Z ^ {-2} + ... \ quad ... $
$ = X（0）\ times 1 + X（1）Z ^ {-1} + X（2）Z ^ {-2} + ... \ quad ... $
上記の場合、Z→∞の場合、$ Z ^ {-n} \ rightarrow 0 $（n> 0であるため）
したがって、私たちは言うことができます。
$ \ lim_ {z \ to \ infty} X（z）= X（0）$ （したがって証明済み）
最終値の定理
最終値定理は、信号のZ変換がX（Z）として表され、極がすべて円の内側にある場合、その最終値はx（n）またはX（∞）として表され、次のように記述できると述べています。 −
$ X（\ infty）= \ lim_ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim_ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ {-1}）] $
Conditions −
- 因果システムにのみ適用されます。
- $ X（Z）（1-Z ^ {-1}）$は、Z平面の単位円の内側に極を持っている必要があります。
Proof −私たちはそれを知っています
$ Z ^ + [x（n + 1）-x（n）] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {-n} [x（n + 1）-x （n）] $
$ \ Rightarrow Z ^ + [x（n + 1）]-Z ^ + [x（n）] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {-n} [x （n + 1）-x（n）] $
$ \ Rightarrow Z [X（Z）^ + -x（0）]-X（Z）^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {-n} [x （n + 1）-x（n）] $
ここでは、片側Z変換の高度なプロパティを適用できます。したがって、上記の式は次のように書き直すことができます。
$ Z ^ + [x（n + 1）] = Z [X（2）^ + -x（0）Z ^ 0] = Z [X（Z）^ + -x（0）] $
上記の式にz = 1を入れると、上記の式を展開できます。
$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x（1）-x（0）+ x（6）-x（1）+ x（3）-x（2）+ ... \ quad .. .. \ quad ... + x（x + 1）-x（k）]} $
これは次のように定式化できます。
$ X（\ infty）= \ lim_ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim_ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ {-1}）] $ （したがって証明済み）
例
信号が次の式で与えられるx（n）の初期値と最終値を見つけましょう。
$ X（Z）= 2 + 3Z ^ {-1} + 4Z ^ {-2} $
Solution −まず、定理を適用して信号の初期値を求めます。
$ x（0）= \ lim_ {z \ to \ infty} X（Z）$
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {-1} + 4Z ^ {-2}] $
$ = 2 +（\ frac {3} {\ infty}）+（\ frac {4} {\ infty}）= 2 $
ここで、定理を適用した信号の最終値を見つけましょう。
$ x（\ infty）= \ lim_ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ {-1}）X（Z）] $
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ {-1}）（2 + 3Z ^ {-1} + 4Z ^ {-2}）] $
$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {-1} + Z ^ {-2} -4Z ^ {-3}] $
$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $
Some other properties of Z-transform are listed below −
頻度の差別化
離散信号が時間に関して微分されると、信号のZドメインに変化が生じます。
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac {dX（z）} {dz} $
そのROCは次のように書くことができます。
$ r_2 <Mod（Z）<r_1 $
例
Zドメインの離散信号が$ x（n）\ longleftrightarrow X（Z）= log（1 + aZ ^ {-1}）$で与えられる、周波数の微分によってx（n）の値を見つけましょう。
プロパティによって、私たちはそれを書くことができます
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac {dx（Z）} {dz} $
$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {-2}} {1 + aZ ^ {-1}}] $
$ =（aZ ^ {-1}）/（1 + aZ ^ {-1}）$
$ = 1-1 /（1 + aZ ^ {-1}）$
$ nx（n）= \ delta（n）-（-a）^ nu（n）$
$ \ Rightarrow x（n）= 1 / n [\ delta（n）-（-a）^ nu（n）] $
時間の掛け算
離散信号レベルで乗算が行われると、信号のZドメインが変化します。
$ x_1（n）.x_2（n）\ longleftrightarrow（\ frac {1} {2 \ Pi j}）[X1（Z）* X2（Z）] $
時間内の接合
これは、Zドメインでの共役離散信号の表現を示しています。
$ X ^ *（n）\ longleftrightarrow X ^ *（Z ^ *）$