DSP-Z変換の存在

システム機能を備えたシステムは、すべての極が単位円の内側にある場合にのみ安定することができます。まず、システムが因果関係にあるかどうかを確認します。システムが因果的である場合、BIBO安定性の決定に進みます。ここで、BIBO安定性とは、制限付き出力条件の制限付き入力を指します。

これは次のように書くことができます。

$ Mod（X（Z））<\ infty $

$ = Mod（\ sum x（n）Z ^ {-n}）<\ infty $

$ = \ sum Mod（x（n）Z ^ {-n}）<\ infty $

$ = \ sum Mod [x（n）（re ^ {jw}）^ {-n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x（n）r ^ {-n}] Mod [e ^ {-jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod [x（n）r ^ {-n}] <\ infty $

上記の式は、Z変換が存在するための条件を示しています。

ただし、DTFT信号が存在するための条件は

$$ \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod（x（n）<\ infty $$

例1

信号のZ変換を調べてみましょう。これは次のように与えられます。

$ x（n）=-（-0.5）^ {-n} u（-n）+3 ^ nu（n）$

$ =-（-2）^ nu（n）+ 3 ^ nu（n）$

Solution −ここで、$-（-2）^ nu（n）$の場合、ROCは左側であり、Z <2

$ 3 ^ nu（n）$の場合、ROCは右側で、Z> 3です。

したがって、ここでは、共通領域がないため、信号のZ変換は存在しません。

例2

によって与えられる信号のZ変換を見つけてみましょう

$ x（n）= -2 ^ nu（-n-1）+（0.5）^ nu（n）$

Solution −ここで、$-2 ^ nu（-n-1）$の場合、信号のROCは左側で、Z <2です。

信号$（0.5）^ nu（n）$の場合、ROCは右側で、Z> 0.5です。

したがって、一般的なROCは0.5 <Z <2として形成されます

したがって、Z変換は次のように記述できます。

$ X（Z）= \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {-1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {（1-0.5Z）^ {-1}} \ rbrace $

例3

$ x（n）= 2 ^ {r（n）} $として与えられる信号のZ変換を見つけてみましょう。

Solution− r（n）はランプ信号です。したがって、信号は次のように書くことができます。

$ x（n）= 2 ^ {nu（n）} \ lbrace 1、n <0（u（n）= 0）\ quad and \ quad2 ^ n、n \ geq 0（u（n）= 1）\ rbrace $

$ = u（-n-1）+ 2 ^ nu（n）$

ここで、信号$ u（-n-1）$およびROC Z <1の場合、および$ 2 ^ nu（n）$の場合、ROCはZ> 2です。

したがって、信号のZ変換は存在しません。

因果システムのZ変換

因果関係は$ h（n）= 0、n <0 $として定義できます。因果システムの場合、ROCはZ平面の円の外側になります。

$ H（Z）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h（n）Z ^ {-n} $

上記の式を拡張すると、

$ H（Z）= h（0）+ h（1）Z ^ {-1} + h（2）Z ^ {-2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N（Z）/ D（Z）$

因果システムの場合、伝達関数の展開にはZの正の累乗は含まれません。因果システムの場合、分子の次数は分母の次数を超えることはできません。これは次のように書くことができます-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H（Z）= h（0）= 0 \ quadまたは\ quad Finite $

因果関係の安定性のために、伝達関数の極はZ平面の単位円の内側にある必要があります。

非因果的システムのためのZ変換

非因果的システムは、$ h（n）= 0、n \ geq 0 $として定義できます。非因果的システムの場合、伝達関数の極はZ平面の単位円の外側にある必要があります。非因果的システムの場合、ROCはZ平面の円の内側になります。