デジタル信号処理-DFTの紹介
連続時間信号フーリエ変換と同様に、離散時間フーリエ変換を使用して、離散シーケンスを同等の周波数領域表現とLTI離散時間システムに表現し、さまざまな計算アルゴリズムを開発できます。
連続FTのX（jω）は、x（n）の連続関数です。ただし、DFTは、スペクトルX（ω）のサンプルでx（n）を表すことを扱います。したがって、この数学的ツールは、便利な表現において計算上非常に重要です。このツールを使用して、周期的シーケンスと非周期的シーケンスの両方を処理できます。周期シーケンスは、周期を無限大に拡張してサンプリングする必要があります。
周波数領域サンプリング
はじめに、周波数領域のサンプリング、つまりX（ω）のサンプリングをどのように進めるかを知る必要があることは明らかです。したがって、サンプリングされたフーリエ変換とDFTの関係は、次のように確立されます。
同様に、周期シーケンスは、周期Nを無限大に拡張することにより、このツールに適合させることができます。
非周期シーケンスを$ X（n）= \ lim_ {N \ to \ infty} x_N（n）$とします。
そのフーリエ変換を定義し、
$ X（\ omega）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ {-jwn} X（K \ delta \ omega）$ ... eq（1）
ここで、X（ω）は、δωラジアン間隔ごとに定期的にサンプリングされます。
X（ω）は2πラジアンで周期的であるため、基本範囲のサンプルのみが必要です。サンプルは、周波数範囲0≤ω≤2πで等距離間隔で採取されます。同等の間隔間の間隔は、$ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ラジアンです。
評価中、$ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $
$ X（\ frac {2 \ pi} {N} k）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ {-j2 \ pi nk / N}、$ ... eq（ 2）
ここで、k = 0,1、……N-1
上記を細分化し、合計の順序を入れ替えた後
$ X（\ frac {2 \ pi} {N} k）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）] e ^ {-j2 \ pi nk / N} $ ... eq（3）
$ \ sum_ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）= x_p（n）= a \ quadperiodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $
ここで、n = 0,1、…..、N-1; 「p」-周期的なエンティティまたは関数を表します
フーリエ係数は、
$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p（n）e ^ {-j2 \ pink / N} $ k = 0,1、…、N- 1 ... eq（4）
式3と4を比較すると、次のようになります。
$ NC_k = X（\ frac {2 \ pi} {N} k）$ k = 0,1、…、N-1 ... eq（5）
$ NC_k = X（\ frac {2 \ pi} {N} k）= X（e ^ {jw}）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ \ infty x_p（n）e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq（6）
フーリエ級数展開から、
$ x_p（n）= \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X（\ frac {2 \ pi} {N} k）e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq（7）
ここで、n = 0,1、…、N-1
ここでは、X（ω）から周期信号を取得しました。$ x（n）$は、時間領域にエイリアシングがない場合にのみ、$ x_p（n）$から抽出できます。$ N \ geq L $
N = $ x_p（n）$の期間L = $ x（n）$の期間
$ x（n）= \ begin {cases} x_p（n）、＆0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0、＆それ以外の場合\ end {cases} $
マッピングはこの方法で実現されます。
DFTのプロパティ
直線性
信号の組み合わせのDFTは、個々の信号のDFTの合計に等しいと記載されています。私たちは、2つの信号Xみましょう1（N）とx 2（n）を、そのDFT Sであり、X 1（ω）及びX 2（ω）をそれぞれ。だから、もし
$ x_1（n）\ rightarrow X_1（\ omega）$および$ x_2（n）\ rightarrow X_2（\ omega）$
次に、$ ax_1（n）+ bx_2（n）\ rightarrow aX_1（\ omega）+ bX_2（\ omega）$
どこ a そして b 定数です。
対称
DFTの対称性は、DTFTの対称性を導出したのと同様の方法で導出できます。シーケンスx（n）のDFTはX（K）で表されることがわかっています。ここで、x（n）とX（K）が複素数値のシーケンスである場合、次のように表すことができます。
$ x（n）= x_R（n）+ jx_1（n）、0 \ leq n \ leq N-1 $
そして$ X（K）= X_R（K）+ jX_1（K）、0 \ leq K \ leq N-1 $
双対性
DFTがX（K）として与えられる信号x（n）を考えてみましょう。有限期間シーケンスをX（N）とします。次に、双対定理によれば、
の場合、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ X（N）\ longleftrightarrow Nx [（（-k））_ N] $
したがって、DFTがわかっている場合はこの定理を使用することで、有限期間のシーケンスを簡単に見つけることができます。
複素共役のプロパティ
信号x（n）があり、そのDFTはX（K）としても知られているとします。ここで、信号の複素共役がx *（n）として与えられる場合、以下に示す定理を使用することにより、多くの計算を行わなくてもDFTを簡単に見つけることができます。
の場合、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ x *（n）\ longleftrightarrow X *（（K））_ N = X *（NK）$
角周波数シフト
シーケンスx（n）と複素指数シーケンス$ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $の乗算は、周波数のL単位によるDFTの循環シフトに相当します。これは、循環タイムシフトプロパティのデュアルです。
の場合、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ x（n）e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X（（KL））_ N $
2つのシーケンスの乗算
そこに2つの信号Xである場合に1（N）とx 2（n）と、それぞれのDFTはXである1（k）及びX 2（K）、時系列の対応の信号のその後乗算それらのDFTの巡回畳み込みです。
の場合、$ x_1（n）\ longleftrightarrow X_1（K）\ quad \＆\ quad x_2（n）\ longleftrightarrow X_2（K）$
次に、$ x_1（n）\ times x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（K）©X_2（K）$
パーセバルの定理
複雑な値のシーケンスx（n）およびy（n）の場合、一般に
の場合、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）\ quad \＆\ quad y（n）\ longleftrightarrow Y（K）$
次に、$ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）y ^ *（n）= \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X（ K）Y ^ *（K）$