Используйте теорему о рациональном нуле, чтобы найти действительные нули $2x^3-3x^2-x+1$

Question

Я должен использовать теорему о рациональном нуле, чтобы найти действительные нули $2x^3-3x^2-x+1$.

Предоставленные ответы $\frac{1}{2}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Я смог получить $\frac{1}{2}$ сам по себе, но я не понимаю, как были найдены два других.

В моем учебнике мне говорят, что я могу найти кандидата 0, если взять фактор p по фактору q, где p - постоянный член, а q - старший коэффициент.

В этом случае p = коэффициент 1 = $\pm1$ и q = факторы 2 = $\pm1, 2$. Разделив комбинации p / q, я получу$\pm1$ и $\pm\frac{1}{2}$.

Затем я попытался заменить x каждую из этих 4 комбинаций в функции $2x^3-3x^2-x+1$ и обнаружил, что $\frac{1}{2}$ это ноль.

Как / почему $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$также нули, и как я мог определить это только из теоремы о рациональном нуле? Эта последняя часть важна, поскольку в главе моего учебника и в разделе упражнений конкретно говорится, что я должен использовать эту теорему для определения действительных нулей.

Answer 1

Подсказка По теореме о рациональном корне вы получаете$1/2$ является корнем кубической и поэтому $2x-1$является фактором кубического. Применяя алгоритм деления, получаем,$$2x^3-3x^2-x+1=(2x-1)(x^2-x-1)=0$$Теперь вы можете решить квадратичную $x^2-x-1=0$?