Помогите найти изъян в моем решении этого вопроса о лимитах?

Question

Мне почти неловко задавать здесь вопрос, который мне кажется относительно тривиальным, поскольку я занимаюсь самодеятельностью в свободное время. Тем не менее, в ходе своего исследования я попытался решить приведенную ниже проблему на тему ограничений:

Рассматриваемая проблема

Ниже приведены шаги, которые я предпринял, чтобы решить эту проблему:

Предположим, что PRB и QAB - прямые углы, иначе я не вижу способа выразить проблему в терминах

$$\frac{QA}{PR} = \frac{AB}{RB}$$

(По подобным треугольникам)

$$\frac{\theta}{asin\theta} = \frac{OB+a}{OB+acos\theta}$$

$$OB = \frac{a^2sin\theta-a\theta cos\theta}{x-asinx}$$

Поскольку тета -> 0,

$$\lim_{\theta\to0} \frac{a^2sin\theta-a\theta cos\theta}{\theta-asin\theta}$$

$$= \lim_{\theta\to0} \frac{a^2cos\theta-acos\theta+a\theta sin\theta}{1-acos\theta}$$ (от L'Hopital)

$$= \frac{a^2-a}{1-a} = -a$$

Это не то, что мы хотели. Я как-то не могу понять, что пошло не так. Должно быть что-то тупо простое, что я не заметил. Любая помощь очень ценится.

Answer 1

Вы положили $QA = \theta$, но $QA = a \theta$