ช่วยในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Borel-Lebesgue
ทฤษฎีบทดังที่เห็นในตำราการวิเคราะห์ 1 โดย Vladimir A.Zorich:
ทุกตระกูลของช่วงเวลาที่เปิดซึ่งครอบคลุมช่วงเวลาปิดประกอบด้วยตระกูลย่อยที่ จำกัด ซึ่งครอบคลุมช่วงเวลาปิด
หลักฐาน. ปล่อย$S=\{U\}$ เป็นครอบครัวของช่วงเวลาที่เปิดกว้าง $U$ ซึ่งครอบคลุมช่วงเวลาปิด $[a,b]=I_1$. ถ้า$I_1$ ไม่สามารถครอบคลุมได้ด้วยช่วงเวลาที่ จำกัด ของครอบครัว $S$แล้วเราก็หาร $I_1$แบ่งเป็นสองส่วน อย่างน้อยหนึ่งในครึ่งหนึ่งเราแสดงด้วย$I_2$ไม่อนุญาตให้มีการครอบคลุมที่ จำกัด เราทำซ้ำขั้นตอนนี้ด้วยช่วงเวลา$I_2$ และอื่น ๆ
ในการทำเช่นนี้เราจะสร้างลำดับที่ซ้อนกัน $I_1\supset I_2 \supset \dots \supset I_n \supset \dots$ ของช่วงเวลาปิดซึ่งไม่มีใครอนุญาตให้ครอบคลุมครอบครัวย่อยที่ จำกัด ของ S. ตั้งแต่ความยาวของ $I_n$ เท่ากับ $|I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}$ลำดับ $\{I_n\}$มีช่วงเวลาที่มีความยาวเล็กน้อยโดยพลการ ตาม Nested Interval Property มีจุดหนึ่ง$c$ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้ทั้งหมด $I_n, n\in \mathbb{N}$. ตั้งแต่$c \in I_1 = [a,b]$มีช่วงเวลาเปิดอยู่ $ (\alpha, \beta)=U \in S$ที่ประกอบด้วย $c$กล่าวคือ $\alpha < c < \beta$. ปล่อย$\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$. ในลำดับของช่วงเวลาที่สร้างไว้ก่อนหน้านี้เราสามารถหาช่วงเวลาได้$I_n$, ดังนั้น $|I_n|< \epsilon$. ตั้งแต่$c \in I_n$ และ $|I_n|<\epsilon$ก็เป็นไปตามนั้น $I_n \subset U=(\alpha, \beta)$. สิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าช่วงเวลา$I_n$ไม่สามารถครอบคลุมด้วยช่วงเวลาที่ จำกัด ของครอบครัวได้ ดังนั้นข้อความเริ่มต้นจึงเป็นจริง
สิ้นสุดการพิสูจน์
สองสิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ:
- เหตุใดจึงเป็นทางเลือกของ $\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$เป็นสิ่งที่ดีและคุณควรคิดอย่างไรกับมันเอง? หรือข้อมูลอะไรที่เรามีก่อนการเลือก$\epsilon$ควรระบุว่าทางเลือกควรเป็นอย่างไร?
- ทำไมมาจาก $c\in I_n$ และ $|I_n|<\epsilon $ ตามนั้น $I_n\subset U=(\alpha, \beta)$ เหรอ?
ฉันแปลข้อความจากภาษาเยอรมันฉันหวังว่าจะไม่มีความคลาดเคลื่อนระหว่างข้อกำหนด
คำตอบ
$c-\alpha$ คือระยะห่างระหว่าง $c$ และปลายล่างของช่วงเวลา $(\alpha,\beta)$. ในทำนองเดียวกัน$\beta-c$ คือระยะทางจาก $c$ไปที่ปลายด้านบนของช่วงเวลา ปกติเราจะเขียน$\vert \alpha-c\vert$ และ $\vert \beta-c\vert$แต่เนื่องจากเรารู้ว่า $\alpha<c<\beta$เราสามารถละเว้นค่าสัมบูรณ์และเลือกลำดับที่ถูกต้องสำหรับการลบ: $c-\alpha$ เพราะ $\alpha<c$และ $\beta-c$ เพราะ $c<\beta$. แล้วขั้นต่ำ$\epsilon$ ของทั้งสองเป็นเพียงระยะทางต่ำสุดของ $c$ไปยังขอบเขตช่วงเวลา แปลว่าอะไรก็ตามที่ใกล้กว่า$\epsilon$ ถึง $c$ มีขนาดใหญ่กว่า $\alpha$ และมีขนาดเล็กกว่า $\beta$ดังนั้นทุกสิ่งที่อยู่ในระยะไกล $\epsilon$ ของ $c$ อยู่ในช่วงเวลาด้วย $(\alpha,\beta)$. และนั่นคือกรณีของ$I_n$: เนื่องจากประกอบด้วย $c$ และมีความยาวน้อยกว่า $\epsilon$ทุกจุดใน $I_n$ อยู่ใกล้กว่า $\epsilon$ ถึง $c$และมีอยู่ใน $(\alpha,\beta)$. แล้วก็เป็นเช่นนั้น$I_n$.