¿Cómo procedo para este problema de probabilidad?

Question

La pregunta es: en un examen de ingreso con preguntas de opción múltiple, con cada pregunta con cuatro opciones y una única respuesta correcta, suponga que solo el 20% de los candidatos piensan que saben la respuesta a una pregunta difícil y solo la mitad de ellos la conocen correctamente y la la otra mitad se equivoca. Los candidatos restantes eligen una opción de las cuatro al azar y marcan la misma. Si un candidato ha respondido correctamente a la pregunta, ¿cuál es la probabilidad (condicional) de que supiera la respuesta?

Editar: dejar $K$ ser el caso de que un candidato conozca la respuesta (correctamente o no), y $R$ es el caso de que un candidato responda la pregunta al azar.

Entonces, $P(K) = 0.2$, $P(R) = 0.8$.

Dejar $C$ ser el caso de que un candidato responda correctamente a la pregunta.

Queremos encontrar $P(K|C)$.

Según el teorema de Bayes, $P(K|C) = \frac{P(K).P(C|K)}{P(K).P(C|K) + P(R).P(C|R)}$

Tenemos $P(C|K) = 0.1$ y $P(C|R) = 0.25$.

Al sustituir, $P(K|C) = \frac{1}{11}$ ¿Es esto correcto?

Edición n. ° 2: esto está mal. Mi error fue interpretar el hecho de que la mitad del 20% de los candidatos que conocían la respuesta correctamente significaba que el 10% de todos los candidatos la conocían correctamente. En cambio, significa que la probabilidad de que cualquiera de estos candidatos del 20% sepa la respuesta es 0.5. Entonces$P(C|K) = 0.5$ y no $0.1$

Answer 1

Dejar $C$ sea ​​el caso de responder correctamente a la pregunta, $K$ ser el evento de conocer la respuesta, y $NK$ será el caso de no saber la respuesta.

Nosotros necesitamos $P(K|C)$, esto puede suceder de dos maneras, o sabía la respuesta o no. Ahora la respuesta se puede conocer de dos formas, ya sea correcta o incorrectamente. (Aquí, ella sabía que la respuesta significa que pensó que sabía la respuesta)

Según el teorema de Bayes: $$P(K|C)=\dfrac{P(K)\cdot P(C|K)}{P(C)}$$

También $P(C)=P(K).P(C|K)+P(NK).P(C|NK)$ $$P(C)=(0.2)(0.5)+(0.8)(0.25)=0.3$$ porque si conocía la respuesta, entonces la sabía correcta o incorrecta, la probabilidad de que ambos fueran $0.5$, mientras que si lo adivinaba, entonces tenía un $0.25$ probabilidad de responder correctamente a la pregunta.

$$\therefore P(K|C)=\dfrac{0.1}{0.3}=0.33$$

Answer 2

10% de los candidatos dan una respuesta incorrecta

10% de los candidatos dan la respuesta correcta (sabían la respuesta)

80% de los candidatos dan la respuesta correcta con probabilidad $0.25$ (adivinaron bien)

Por tanto, la respuesta correcta viene dada por $0.8\times0.25+0.1$

Aplicando el teorema de Bayes se obtiene

$$\frac{0.1}{0.8\times0.25+0.1}=\frac{1}{3}$$