Vektor eigen bersama dari Hessian

Question

Catatan: pertanyaan ini masih belum terjawab! (Saya akan memberikan jawaban jika saya datang sendiri).

Latar Belakang

Katakanlah kita memiliki fungsi yang dapat dibedakan dua kali secara kontinu $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Kita tahu bahwa fungsi ini memiliki matriks Hessian pasti yang simetris dan positif,$\nabla^2 f$. Hessian ini dapat diuraikan sebagai,

$$\nabla^2 f = R \Lambda R^T, $$

dimana $\Lambda: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan $R:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$adalah matriks vektor eigen. Perhatikan itu di sini$\Lambda$ dan $R$ sendiri merupakan fungsi dari argumen ke $f$.

Pertanyaan

Mengingat fungsinya $f$ memiliki goni dengan dekomposisi $R \Lambda R^T$, apakah ada cara untuk menghitung semua fungsi $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ seperti yang, $$\nabla^2 g = R D R^T, $$ dimana $D$ yang dimaksud dengan matriks diagonal?

Pembaruan:

• John memberikan metode untuk komputasi $g$sehingga Hessian-nya memiliki dekomposisi yang benar pada titik yang dipilih. Sayangnya ini tidak berlaku untuk semua$\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Tentu: $$ g(v) = f(v) + v^t R(D - \Lambda)R^t v + h(v), $$ dimana $h$adalah fungsi apapun dengan$\nabla^2 h = 0$.

Saya berasumsi bahwa Anda bermaksud baik $\nabla^2f(0)$ adalah $R\Lambda R^t$, dan hanya menghilangkan argumen "0", atau yang Anda maksud untuk $R$ dan $\Lambda$ untuk dijadikan parameter oleh argumen ke $f$, dalam hal ini punyaku akan membutuhkannya juga.