derivada fraca igual a 0 implica constante

Question

Deixei $W^{1,p}(U)$seja o espaço Sobolev. Suponha que U seja um domínio limitado conectado em Rn e$u∈W^{1,p}(U)$ satisfaz $Du=0$ ae em U. Prove que u é constante ae em U.

Eu descobri o método que usa $u_ε=u∗ρ_ε, Du_ε=0$ e convergência.

Você poderia me ajudar a encontrar outra maneira de provar isso?

Answer 1

A declaração de que $u$ tem derivada fraca zero é equivalente à afirmação de que para todas as funções suaves $\varphi:U \to \Bbb R$, temos $$ \int_U u\,\nabla \varphi = 0. $$ Agora, é suficiente observar que para qualquer função característica $\Bbb 1_S$ associado a um fechado $S \subset U$, uma sequência (limitada) $\varphi_k$ pode ser selecionado de modo que o primeiro componente de $\nabla \varphi_k$ aproximações $\Bbb 1_S$.