Retrair de álgebra simétrica

Question

Se considerarmos um espaço vetorial sobre um campo algebraicamente fechado $k$ de característica $0$, temos a seguinte sequência exata:

$$0\rightarrow \wedge^{2}V\rightarrow \text{T}^{2}V\rightarrow\text{S}^{2}(V)\rightarrow 0\text{,}$$ Onde $\wedge^{2}, \text{T}^{2}$ e $\text{S}^{2}$denota o componente de segundo grau da álgebra exterior (resp. tensor e álgebra simétrica). Na verdade, podemos definir explicitamente a retração$$\text{S}^{2}(V)\rightarrow\text{T}^{2}(V)$$ que é apenas: $$v_{1}\cdot v_{2}\mapsto \frac{1}{2!}\sum_{\sigma\in S_{2}}v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma_{2}}\text{.}$$ Minha pergunta é a seguinte: podemos descrever explicitamente o kernel do mapa $$\text{T}^{n}(V)\rightarrow\text{S}^{n}(V)$$como antes? É fácil definir a retração para o caso geral, podemos apenas substituir$2$ de $n$, mas como descrevemos o kernel? O que acontece no caso$n=3$ e $n=4$ (quais devem ser os mais fáceis)?

Obrigado pelo seu tempo.

Answer 1

(Abaixo eu preciso $k$ ter característica zero, que pode ser enfraquecida para característica maior que $n$, mas não preciso que seja fechado algebricamente.)

Depende do que você entende por "explicitamente". Abstratamente a dualidade Schur-Weyl implica que o poder tensor$V^{\otimes n}$ se separa, sob as ações de deslocamento de $GL(V)$ e $S_n$, em uma soma direta de functores Schur

$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash n} S^{\lambda}(V) \boxtimes M^{\lambda}$$

correspondendo a partições de $n$. Esta é precisamente a decomposição em representações irredutíveis de$GL(V)$, e quando $n \ge 3$ há estritamente mais deles do que apenas o poder simétrico e exterior.

Por exemplo, quando $n = 3$ existem três functores de Schur que podem ser considerados como correspondentes às três representações irredutíveis de $S_3$:

• O cubo simétrico $S^3(V)$, correspondendo à representação trivial de $S_3$,
• O cubo exterior $\wedge^3(V)$, correspondendo à representação do sinal de $S_3$, e
• O functor Schur $S^{(2, 1)}(V)$, que não tem um nome que eu conheça, correspondendo ao não trivial $2$representação irredutível dimensional de $S_3$.

Portanto, o núcleo do mapa de simetrização $V^{\otimes 3} \to S^3(V)$ é isomórfico, como um $GL(V)$-representação, para $\wedge^3(V) \oplus 2 S^{(2, 1)}(V)$.

O que quero dizer com "corresponde" é o seguinte. E se$M^{\lambda}$é o módulo Specht (representação irredutível) de$S_n$ rotulado por $\lambda$, então $S^{\lambda}(V)$ é construído como $V^{\otimes n} \otimes_{S_n} M^{\lambda}$. O componente isotípico de$S^{\lambda}(V)$ dentro $V^{\otimes n}$ pode ser isolado como a imagem do idempotente

$$\frac{\dim M^{\lambda}}{n!} \sum_{\pi \in S_n} \chi_{\lambda}(\pi^{-1}) \pi$$

(Onde $\chi_{\lambda}$ é o personagem do módulo Specht $M^{\lambda}$), que reproduz a familiar simetrização idempotente quando aplicada à representação trivial e a familiar antissimetrização idempotente quando aplicada à representação do sinal, como esperado. Então, tudo isso pode ser feito tão explicitamente quanto você pode escrever a tabela de caracteres de$S_n$.