Спектр $\ell^2$-оператор
Мне нужно найти спектр $\sigma(T)$ следующего оператора на $\ell^2$ (реальные последовательности):
$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$
но у меня возникли проблемы (вчера я отправил аналогичный вопрос, и было указано, что оператор был компактным, но это не так)
Взять $y \in \ell^2$ и предположим $(T-\lambda)x=y$, имеем следующие отношения:
$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$
из них получаем
$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$
теперь я не знаю, как определить, действительно ли $x \in \ell^2$.
Ответы
РЕДАКТИРОВАТЬ: это не относится к вопросу. Смотри ниже.
Обозначим оператор как $P$. Должно быть ясно, что$P$ это проекция; $P^2=P^*=P$. Для любой проекции спектр является подмножеством$\{0,1\}$, за исключением не более одного из них. Во всех остальных случаях мы можем определить явное обратное:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Это можно проверить, выполнив следующие вычисления:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Тот факт, что это двусторонний обратный результат, следует из того, что все уравнение ставится в звезду, которое только меняет порядок умножения.
ИЗМЕНИТЬ ЗДЕСЬ: оператор $T$ выше берет $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$, а затем переходит к следующим индексам. Это значит, что$T$ имеет разложение как $I_3\oplus R$, где $I_3$ это $3\times 3$ оператор идентификации и $R$- оператор сдвига вправо. Спектр прямой суммы конечного числа операторов - это объединение их спектров. Спектр тождественного оператора равен$1$, а спектр оператора правого сдвига - замкнутый единичный круг $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Итак, спектр$T$ - замкнутый единичный диск.