एक सीमा के भीतर

Question

अरे, कृपया मुझे यह दिखाने के लिए कि क्या नीचे संभव है, एक कदम प्रक्रिया द्वारा कदम बढ़ा सकते हैं। मुझे यह पता नहीं लग सकता है कि एक सीमा के भीतर एक सीमा को कैसे कम किया जाए और चर 'a' और 'b' को 'c' से बदला जाए।

(किसी ने इसका जिक्र किया, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह कैसे दिखाया जाए)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

इस विचार का प्रयोग ग्रुन्वाल्ड-लेटिकोव व्युत्पन्न साबित करते समय किया जाता है (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) और उन्होंने उल्लेख किया कि यह कदम यह मानकर किया गया है कि 'ए' और 'बी' दोनों समकालिक रूप से परिवर्तित होते हैं और एमवीटी के द्वारा इसे सही ठहराया जा सकता है। यदि संभव हो तो आप यह समझा सकते हैं? और मैं इसे सही ठहराने के लिए MVT का उपयोग कैसे करूंगा।

Answer 1

आप ऊपरी अंश को फिर से ग्रहण कर सकते हैं $f$ तब व्युत्पन्न होता है:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

तो जब तक $f$ स्थिर है, जब से आप लेते हैं, तब तक अंतिम शब्द विचलन होता है $\lim\limits_{b\to 0}$ पहले मूल अभिव्यक्ति में, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह एक अच्छी तरह से बनाई गई अभिव्यक्ति है।

नोट: आप पर लागू करने की कोशिश कर सकते हैं $f(x)=x$

इसे बदलने के लिए और अधिक समझ में आता है $-2f(x+b)$ द्वारा $-f(x+b)-f(x+a)$ और इसकी तुलना करना $f''(x)$।