एक स्पिनर का रोटेशन
मेरे पास कुछ गणितीय वस्तुओं के रूप में स्पिनरों पर एक सहज दृष्टिकोण के बारे में एक प्रश्न है जिसमें कुछ गुण हैं जो उन्हें वैक्टर के समान बनाते हैं लेकिन दूसरी ओर एक संपत्ति है जो वैक्टर से अलग स्पिनर है:
विकी एक स्पिनर के बजाय ज्यामितीय विवरण देता है :
"वैक्टर और टेंसर्स के विपरीत, एक स्पिनर अपने नकारात्मक में बदल जाता है जब अंतरिक्ष को लगातार पूर्ण मोड़ से घुमाया जाता है $0°$ सेवा $360°$ (तस्वीर देखो)।"
अन्य स्रोतों में बताया गया है कि यदि आप एक स्पिनर को घुमाते हैं $720°$डिग्री आप एक ही स्पिनर प्राप्त करते हैं। जाहिर है, अगर हम एक सामान्य वेक्टर को घुमाते हैं$360°$हम एक ही वेक्टर प्राप्त करते हैं। इसलिए स्पिनर सामान्य अर्थों में वैक्टर नहीं हैं।
प्रश्न : मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि क्या वास्तव में 'एक स्पिनर का रोटेशन' है। इस तरह के 'रोटेशन' का वर्णन कैसे किया जा सकता है?
मुझे पता है कि यह सवाल सामान्य रूप से लगता है, लेकिन अगर हम याद करते हैं कि सामान्य भोलेपन में एक रोटेशन क्या है, तो हम एक बहुत ही ठोस ढांचे में एक रोटेशन के बारे में सोचते हैं: भोले रोटेशन समूह के एक तत्व द्वारा एक ऑपरेशन है $SO(3)$ असली जगह पर $\mathbb{R}^3$। चूंकि स्पिनर अंदर नहीं रहते हैं$\mathbb{R}^3$ मुझे लगता है कि अंतरिक्ष में 'रोशन' होना ठीक उसी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक है जहां स्पिनर रहते हैं।
सामान्य वैक्टर & $3D$स्थान। में एक सामान्य रोटेशन$3D$ रोटेशन अक्ष द्वारा निर्धारित किया जाता है $\vec{b}$ और रोटेशन कोण $\phi$। कहते हैं कि हम चारों ओर घूमते हैं$z$कोण द्वारा -axis $\phi$, तब रोटेशन द्वारा डिकोड किया जाता है $3 \times 3$ आव्यूह $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
अगर ऐसा है $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ फिर के रोटेशन $\vec{v}$ सादा है $R \vec{v}$।
लेकिन 'स्पिनर का रोटेशन' क्या है? इसका वर्णन कैसे किया जाता है?
सादगी के लिए कण भौतिकी से सबसे आम स्पिनर प्रतिनिधित्व पर ध्यान केंद्रित करने देता है: उपसमूह $SU(2) \subset SL(2, \mathbb{C})$ एक बस जुड़ा प्रदान करता है $2$ सेवा $1$ कवर नक्शा $f:SU(2) \to SO(3)$रोटेशन समूह की। स्पष्ट रूप से$SU(2)$ के उपसमूह के रूप में कार्य करता है $SL(2, \mathbb{C})$ जटिल वेक्टर अंतरिक्ष पर $\mathbb{C}^2$। चूंकि यह सेटिंग में है$SU(2)$ एक स्पिनर प्रतिनिधित्व प्रदान करता है जिसे हम कुछ वैक्टर कह सकते हैं $\mathbb{C}^2$ 'स्पिनर्स', है ना?
लेकिन यहाँ स्पिनरों का क्या चक्कर है? कहते हैं कि हम एक मनमाना स्पिनर लेते हैं$s \in \mathbb{C}^2$ और कुछ निश्चित डिग्री द्वारा कुछ अक्ष के चारों ओर एक 'रोटेशन' करना चाहते हैं $\phi$। किस वस्तु में$SU(2)$ इस तथाकथित 'रोटेशन' का प्रतिनिधित्व करता है और स्पिनरों पर इस तरह के ऑपरेशन को 'रोटेशन' क्यों कहा जाता है?
जवाब
एक स्पिनर का रोटेशन $\psi$ (एक जटिल 2-वेक्टर जैसा दिखता है) एक कोण से $\phi$ इकाई अक्ष के आसपास $\hat n$ लेकिन है $$ \psi \mapsto e^{i {\phi\over 2} \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi= \left (I\cos {\phi\over 2} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi , $$ कहाँ पे $\vec \sigma$ तीन पाउली मैट्रिसेस हैं, दो बार दोहरे प्रतिनिधित्व में रोटेशन के जनरेटर।
आप देख सकते हैं कि कैसे 2π रोटेशन मात्रा में अपने चिन्ह को फ़्लिप करता है, और पहचान के लिए दो बार।
पाउली और डीराक मैट्रिस क्रमशः 3 डी यूक्लिडियन स्पेस के क्लिफर्ड अलजेब्रा और 3 + 1 डी मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के आधार वैक्टर हैं। यदि आप स्पिनरों को समझना चाहते हैं, तो आपको शायद क्लिफोर्ड अल्जेब्रा को समझने की आवश्यकता होगी।
क्लिफ़ोर्ड बीजगणित में, मूल के माध्यम से प्रतिबिंब इकाई वैक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं (उन्हें दर्पण के सतह मानदंडों के रूप में देखें)। बीजगणितीय उत्पाद प्रतिबिंबों की रचना करता है। वैक्टर को आधार वैक्टर के भारित योगों के रूप में लिखा जा सकता है जैसे अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष में। पाउली / डिराक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, पाउली / डायक मैट्रिस आधार वैक्टर हैं ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$।
किसी भी रोटेशन को प्रतिबिंबों की एक समान संख्या के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। 3 डी यूक्लिडियन स्पेस में यूनिट वैक्टर के सम संख्या वाले क्लिफोर्ड उत्पाद बीजगणित के एक उप-क्षेत्र में रहते हैं जो इकाई चतुर्धातुक के समद्विबाहु है। 3 +1 मिंकोवस्की अंतरिक्ष में उपस्पेस इकाई के लिए है isomorphic biquaternions ।
एक दर्पण में एक वेक्टर को प्रतिबिंबित करने के लिए, आप इसे सतह के सामान्य रूप से क्लिफर्ड प्रतिनिधित्व (और संभवतः एक कारक) द्वारा दोनों तरफ गुणा करते हैं $-1$) है। आप अपने आप को बीजगणित की प्रतिबिंब व्याख्या से समझा सकते हैं कि यह समझ में आता है। एक वेक्टर को घुमाने के लिए, आप इसे उल्टे क्रम में एक ही उत्पाद होने के साथ, उचित सम उत्पाद से भी जोड़ते हैं।
परावर्तन / घुमावों के समान निरूपण द्वारा स्पिनर्स गुणन द्वारा परिवर्तित होते हैं, लेकिन केवल एक तरफ, दोनों में नहीं।
मुझे लगता है कि स्पिनरों की एक सामान्य ज्यामितीय समझ एक खुली समस्या है। हालांकि, कम से कम आयामों में (शायद 3 + 1 सहित), यह एक स्पिनर के क्लिफर्ड प्रतिनिधित्व के बारे में सोचना संभव है, जो एक रोटेशन के रूप में, "कैनोनिकल स्पिनर ओरिएंटेशन" से वास्तविक अभिविन्यास तक है। एक स्पिनर को घुमाने का मतलब है कि एक अन्य रोटेशन के साथ इसके प्रतिनिधित्व की रचना।
मूल अभिविन्यास पर वापस जाने के लिए 720 ° घूमने के लिए आवश्यक कारण यह है कि दो दर्पणों के कोण के माध्यम से प्रतिबिंब $θ$ इसके अलावा एक वस्तु को घुमाता है $2θ$। जब आप 180 ° के माध्यम से दर्पण को घुमाते हैं, तो दर्पण का तल अपनी मूल स्थिति में लौट आता है, लेकिन सतह विपरीत दिशा में सामान्य बिंदु है, और वैक्टर के एक उत्पाद के रूप में रोटेशन का प्रतिनिधित्व इसलिए एक कारक उठा है।$-1$।
चूंकि आप अंतर्ज्ञान के बारे में पूछ रहे हैं, इसलिए मेरा उत्तर उसी दिशा में होगा। आपको मानसिक रूप से वैक्टर के साथ रोटेशन को संबद्ध नहीं करना चाहिए$\mathbb{R}^3$। इसके बजाय, आपको उन्हें समूह के साथ जोड़ना चाहिए$SO(3)$। इसके अलावा, आपको सोचना चाहिए$SO(3)$ एक सार समूह के रूप में, के एक सेट के रूप में नहीं $3\times 3$मेट्रिसेस। 3x3 मैट्रिक्स का सेट केवल 3 आयामी वास्तविक स्थान पर समूह का प्रतिनिधित्व है। यह शास्त्रीय भौतिकी में उपयोगी होता है जहां अंतरिक्ष में दिशाओं में स्वतंत्रता की 3 वास्तविक डिग्री होती हैं।
लेकिन स्पष्ट रूप से इस दुनिया में ऐसी चीजें हैं जिनके पास स्वतंत्रता की डिग्री है जिसका उपयोग आप शास्त्रीय दुनिया में नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर भी बहुत भौतिक हैं; जैसे कि इलेक्ट्रॉन की स्वतंत्रता की स्पिन डिग्री। ये एक स्पिनर (एक तत्व) द्वारा वर्णित हैं$\mathbb{C}^2$) और सदिश में नहीं $\mathbb{R}^3$।
अब भौतिकी में हम रैखिककरण और टेलर विस्तार को प्यार करते हैं; वे आपको रैखिक चीजें देते हैं और इनसे काम करना आसान होता है। इसलिए अनुवाद और बारीकियों के बारे में बात करने के बजाय हम एक टेलर विस्तार में उनके पहले डेरिवेटिव के बारे में सोचना पसंद करते हैं; अर्थात् रैखिक वेग और कोणीय वेग (जो संवेग और कोणीय संवेग के आनुपातिक हैं)। आप कोणीय वेगों को (छद्म) वैक्टर के रूप में पहचान सकते हैं$\omega_i$, लेकिन यह वास्तव में समतुल्य है और कभी-कभी 3x3 एंटीसिमेट्रिक मैट्रीस के रूप में कोणीय वेगों को व्यक्त करने के लिए अधिक सुविधाजनक है $W_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$। आप जान सकते हैं कि तब क्या होता है जब आप इस तरह के एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स को एक्सप्रैस करते हैं: आपको ए$SO(3)$मैट्रिक्स जो एक परिमित घुमाव बनाता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में अधिक सटीक, आप लिखेंगे (पॉसन ब्रैकेट के साथ और$L_z$ Z दिशा में कोणीय गति): $R_\phi = e^{\{\phi L_z, \cdot\}}$
क्वांटम यांत्रिकी में, स्वतंत्रता के स्पिन डिग्री के लिए, आप जानते हैं कि जेड दिशा में कोणीय गति ऑपरेटर है $\mathbf{\frac{1}{2}}\sigma_z$। आधा नोटिस करें। कोण द्वारा 2x2 जटिल रोटेशन मैट्रिक्स$\phi$ Z- अक्ष के आसपास तो बस है $R_\phi = e^{i\phi\frac{1}{2}\sigma_z}$। वह आधा वही है जो अंत में आधे कोण के तर्क और आधे में ले जाता है$720^\circ$छल। शारीरिक रूप से, यह सिर्फ यही होता है$\mathbb{C}^2$ रोटेशन के तहत स्वतंत्रता की डिग्री।
व्यक्तिगत रूप से, मुझे वास्तव में यह बहुत आश्चर्यजनक नहीं लगता। एक इलेक्ट्रॉन के स्पिन की स्वतंत्रता की डिग्री सिर्फ रोटेशन के तहत किसी को बदलने के लिए होती है। कोणीय वेग की तीन डिग्री स्वतंत्रता को एक वेक्टर के रूप में दर्शाया गया है, जो परिलक्षित होता है, लेकिन इसके बारे में कुछ भी गहरा नहीं है। उदाहरण के लिए किसी वस्तु का द्रव्यमान या तापमान घूर्णन के अंतर्गत बिल्कुल नहीं बदलता है, आश्चर्य की बात नहीं है। स्वतंत्रता के इलेक्ट्रॉन स्पिन डिग्री बारी-बारी से घूमने के तहत बदल जाते हैं, ऐसा क्यों होना चाहिए।