एक वास्तविक संख्या के "तत्व"

Question

यह प्रश्न मूल रूप से एक अलग (हटाए गए) प्रश्न का एक दृष्टांत है , जो आसफ करगिला की टिप्पणी के बारे में बात करता है "के बारे में"$\pi$”।

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मुझे पता है कि प्राकृतिक संख्या को सेट के रूप में कैसे देखा जा सकता है , इसलिए उदाहरण के लिए$3$ सेट के रूप में देखा जा सकता है $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, इसलिए तत्व हैं $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$। यह बहुत ठोस और प्राकृतिक लगता है।

मैं देख सकता हूं कि पूर्णांक से निपटने के लिए हम इसे अनुकूलित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए एक "मार्कर" तत्व (इसलिए $-3$ से मेल खाती है $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$) है। मैं यह भी देख सकता हूं कि हम तर्कसंगत संख्याओं से निपटने के लिए इस "मार्कर" विचार को अनुकूलित कर सकते हैं (जो पूर्णांक के जोड़े हैं, और हम एक निश्चित तरीके से शीर्ष एक और सबसे नीचे "निशान" करते हैं)। हालाँकि, मैं पहले से ही यहाँ घबरा रहा हूँ क्योंकि यह प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में बहुत अधिक सिंथेटिक लगता है।

वैसे भी। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि कैसे एक संख्या पसंद है$\pi$ या $e$तत्व हो सकते हैं। एक तरह से इन संख्याओं को अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है, और इसलिए तर्कसंगत संख्याओं की सूची। हालाँकि, यह संदेहास्पद लगता है क्योंकि ये संख्या गुणकों के अनुक्रमों की सीमा है, इसलिए यह मुझे एक विहित सेट नहीं देता है जो इन संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, बल्कि इसके बजाय सेटों का परिवार है। क्या यह ठीक है, या मेरा तर्क टूट गया है?

तो मैं जो पूछना चाहता हूं वह है:

के तत्व क्या हैं $e$?

या, अधिक सूक्ष्मता से, क्या यह प्रश्न समझ में आता है, या हमें "" से शब्द को हटा देना चाहिए?

Answer 1

स्ट्रिंग में सटीक बिट क्या हैं जो मेरा जवाब है? खैर, यह निर्भर करता है कि आप इसे कैसे कोडित करते हैं। क्या यह UTF-8 है, या शायद UTF-16, या शायद यह ASCII है। हो सकता है कि आप एक ऐसे ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो स्ट्रिंग को शून्य-समाप्ति दृश्यों के रूप में दर्शाता है, या शायद यह एक अधिक विस्तृत प्रकार की वस्तु है।

मुद्दा यह है कि पाठ के इस तार को आप अभी पढ़ रहे हैं, आपके कंप्यूटर की स्मृति में बिट्स का एक क्रम बनने के लिए, सभी वैध और सभी अपने तरीके से उपयोगी हैं।

इसी तरह, वास्तविक संख्याएं हैं, जैसा कि ज्यादातर लोग आमतौर पर उनके बारे में सोचते हैं, बस एक अमूर्त इकाई है। पाठ की एक स्ट्रिंग की तरह। सेट सिद्धांत, और वास्तव में गणित की कोई भी नींव, इन अमूर्त संस्थाओं को सेट के रूप में लागू करती है (या अन्य नींव में अन्यथा)। कौन से सही सेट हैं जो वास्तविक संख्या हैं? यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप उन्हें कैसे लागू करते हैं।

वास्तविक संख्या के मामले में तथाकथित मानक मार्ग और $\sf ZFC$ (और इसके संबंधित सिद्धांत), निम्न होंगे:

1. आदेशित जोड़े की एन्कोडिंग को ठीक करें, आमतौर पर कुराटोव्स्की बाँधना।
2. प्रयोग करें $\omega$प्राकृतिक संख्याओं के मॉडल के लिए, सबसे कम अनंत अध्यादेश।
3. परिभाषित $\Bbb Z$ के भागफल के रूप में $\omega\times\omega$ बीजीय तरीके से।
4. परिभाषित $\Bbb Q$ के भागफल के रूप में $\Bbb{Z\times Z}$ बीजीय तरीके से।
5. परिभाषित $\Bbb R$ के पूरा होने के रूप में $\Bbb Q$, जो सेट सिद्धांत के मामले में डेडेकिंड कटौती के माध्यम से कुछ और स्वाभाविक है।

उस मामले में के तत्वों $e$, या वास्तव में कोई भी वास्तविक संख्या, तर्कसंगत संख्या से छोटी है $e$। लेकिन तर्कसंगत संख्याएं क्या हैं? खैर, वे पूर्णांक के जोड़े के सेट हैं, जो स्वयं परिमित अध्यादेशों के जोड़ों के सेट हैं, जिनके पास स्वयं एक काफी अच्छी तरह से समझी गई संरचना है।

हालाँकि, यह वास्तविक संख्याओं को एनकोड करने का एकमात्र तरीका नहीं है। हम आदेशित जोड़े को सांकेतिक शब्दों में बदलना करने के लिए एक अलग तरीका चुन सकते हैं, या हम तर्कसंगत संख्याओं के कॉची अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों का उपयोग करके कॉची समापन का उपयोग कर सकते हैं। हम पूर्णांकों को अलग-अलग तरीके से एन्कोड कर सकते हैं, या हम से स्थानांतरित करने का निर्णय ले सकते हैं$\omega$ गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याओं के लिए, और उसके बाद ही नकारात्मक लोगों का परिचय दें।

सेट में एक वास्तविक संख्या को एन्कोडिंग के कई, कई तरीके हैं। वास्तव में, हम आकार के किसी भी सेट को ले सकते हैं$2^{\aleph_0}$, "मानक मार्ग" को चलाएं, और फिर इस एन्कोडिंग को बनाने के लिए एक आक्षेप का उपयोग करें। सेट सिद्धांत में वास्तविक संख्याओं को अक्सर माना जाता है:

1. की सदस्यता $\omega$।
2. से कार्य $\omega$ सेवा मेरे $\omega$।
3. से कार्य $\omega$ सेवा मेरे $2$।
4. ऊपर सेट के कुछ संयोजन।

यह संदर्भ निर्भर है। जैसे कि आप जो स्ट्रिंग पढ़ रहे हैं या नहीं उसका प्रश्न एक तरह से दर्शाया गया है या दूसरा इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं, आप किस ऑपरेटिंग सिस्टम का उपयोग कर रहे हैं, आदि।

तो आपके प्रश्न के लिए, के तत्व हैं$e$? खैर, यह निर्भर करता है कि कौन सा सेट है$e$।

Answer 2

डेडेकिंड के बाद , आइए प्रत्येक वास्तविक संख्या को सबसे बड़े तत्व के बिना परिमेय के डाउनवर्ड-क्लोज्ड उचित सबसेट के रूप में मॉडल करें। फिर$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$

Answer 3

यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप वास्तविक संख्याओं को कैसे परिभाषित करते हैं।

कॉची अनुक्रम विधि reals परिभाषित करने के लिए एक छोटे से डेडेकिंड दृष्टिकोण की तुलना में अधिक जटिल है। इस परिभाषा में एक वास्तविक संख्या तर्कसंगत संख्याओं के कॉची अनुक्रम का एक समतुल्य वर्ग है।

इसका मतलब है कि एक तत्व एक एकल कॉची अनुक्रम है $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ परिमेय संख्याओं के लिए जो अभिसरण करता है $e,$ या, कम चक्रीय रूप से, दिया गया:

$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ अपने पास $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ अगर $x_n-e_n\to 0.$

Answer 4

पहले से ही मानक निर्माण $\Bbb Z$ से $\Bbb N$आपके तदर्थ विचार (जो कि शायद बहुत दुबला है) से अलग है। हम जिस तरह से साथ जोड़े और तुलनीय संबंधों का भारी उपयोग करेंगे। तो याद रखें कि जोड़े के लिए Kuratowski की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ हम प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े के समतुल्य वर्गों के सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ कहां है $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ और हम इंजेक्ट करते हैं $\Bbb N\to \Bbb Z$ के जरिए $n\mapsto \overline{(n,0)}$। इसके साथ ही,$0\in\Bbb Z$ सेट है $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ और पहले से ही बहुत अधिक जटिल है $0=\emptyset\in\Bbb N$ हमारे पास पहले था।

अगला, हम आम तौर पर परिभाषित करेंगे $\Bbb Q$ पूर्णांक के जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ इस समय कहाँ $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ और हम इंजेक्ट करते हैं $\Bbb Z\to \Bbb Q$ के जरिए $k\mapsto \overline{(k,1)}$।

लोकों को प्राप्त करने के कई तरीके संभव हैं। मैं डिडेकइंड कटौती का सुझाव दूंगा, लेकिन डेडेकइंड के मूल काम (तर्कसंगत के सेटों के जोड़े) के अलावा, मैं केवल रेशनल के एकल सेट (विशिष्ट गुणों के साथ) का उपयोग करने का सुझाव दूंगा$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$

इसके साथ, के तत्व $\pi$ बस सभी तर्कसंगत संख्याएँ हैं $<\pi$ (उदाहरण के लिए $3$ या $\frac{22}7$ या $-42$) है। विशेष रूप से$0$ ऐसा तत्व है, लेकिन ऐसा नहीं है $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, न ही $0_{\Bbb Z}$ वर्णन करें $(1)$ ऊपर, लेकिन अंशों के समतुल्य वर्ग $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$।