एकरूपता और आयाम
में बूटस्ट्रैप और आयाम: बढ़ोतरी क्वांटम फील्ड थ्योरी के लैंडस्केप में आयाम के विश्लेषणात्मक संरचना के बारे में कुछ बयान कर रहे हैं।
मैं कथन समझना चाहता हूं:
बड़े पैमाने पर स्केलर के एक स्थानीय सिद्धांत में, उनके पास सरल ध्रुव हो सकते हैं और इस तरह के एक पोल के अवशेष, यूनिटेरिटी द्वारा , निचले बिंदु के आयाम का एक उत्पाद है।
मैं पेड़ के स्तर के आयाम के लिए फेनमैन के नियमों से इस संपत्ति को समझता हूं, लेकिन मुझे इकाई की भूमिका नहीं मिली ।
मैं यह समझना चाहता हूं कि इस तरह की संपत्ति से संबंधित इकाईकरण कैसे होगा? यदि हम यूनिटेरिटी खो देते हैं, तो अवशेष कैसे बदलेंगे?
जवाब
अनीति ($SS^\dagger = 1$) वृक्ष-स्तर के लिए \ \ {{समीकरण} \ लेबल {कुंजी} टीटी ^ \ डैगर = iTT ^ \ डैगर \ एंड {समीकरण} निर्धारित करता है$2\rightarrow 2$ बिखराव, हमारे पास तब है $$ \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle - \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle^* = i\langle p_1,p_2|TT^\dagger|p_3,p_4\rangle. $$ का उपयोग करते हुए $\langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\mathcal{A}[12\rightarrow 34]$, और एक कण राज्यों (वृक्ष-स्तर पर रहने के लिए) का एक पूरा सेट सम्मिलित करते हुए , हम इसे इस रूप में लिख सकते हैं\begin{align} 2\text{Im}(\mathcal{A}[12\rightarrow 34]) &= 2\pi\sum_k\int \frac{d^3k}{2E_k}\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34]\\ &= 2\pi\sum_k\int d^4k\delta(k^2)\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34] \end{align} अब, बाएं हाथ की ओर 4pt आयाम का काल्पनिक हिस्सा है, जिसे हम संख्यात्मक रूप से ले जाएंगे $n_i$ और प्रचारक $p_i^2 + i\epsilon$, कहाँ पे $i$ उन तरीकों को लेबल करता है जो हम एक कण विनिमय की व्यवस्था कर सकते हैं (ए) $s,t,u$चैनल)। इस प्रकार, हमारे पास \ समीकरण {2} पाठ {Im} \ बाएँ (\ sum_k \ frac {n_k} {k ^ 2 + i \ epsilon} + \ text {संपर्क} \ right) = 2 \ pi का योग_के \ _ int d ^ 4k \ delta (k ^ 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k's rightarrow 34] , \ अंत {समीकरण} मासलेस स्केलर के एक स्थानीय सिद्धांत में, हम प्रचारक के काल्पनिक भाग को लिख सकते हैं$$ \text{Im}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon}\right) = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon} - \frac{1}{p^2 - i\epsilon}\right) = \frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2}. $$ ऐसा लगता है जैसे यह गायब हो जाता है $\epsilon \rightarrow 0$, जो ऑप्टिकल प्रमेय द्वारा, इसका मतलब है कि वास्तविक बाहरी क्षण के लिए आपका आयाम शून्य होना चाहिए। हालाँकि, यह भ्रामक और केवल सच है जब प्रचारक ऑफ-शेल है। इस तथ्य को स्वीकार करते हुए कि ऊपर का अंतिम कार्यकाल नवजात डायक्रक्ट डेल्टा फ़ंक्शन है, हम यह सीखते हैं$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2} = \pi\delta(p^2). $$
इसे प्लग इन करने पर, हम पाते हैं कि, जैसे ही प्रोपेगेटर शेल पर जाता है, हमारे पास {समीकरण {2} शुरू होता है \ _i_ sum_kn_k \ delta (k ^ 2) = 2 \ pi \ sum_k \ int d = kk \ delta (k ^) 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34]। \ end {समीकरण} या, दूसरे शब्दों में, ट्री-लेवल एम्पलीट्यूड के न्यूमेरिटर्स दो लो-पॉइंट एम्पलीट्यूड्स (रेसिड्यूज़ ) में बदल जाते हैं, क्योंकि प्रोपेगेटर ऑन-शेल हो जाता है, \ समीकरण {n }k = / int d ^ 4k \ डेल्टा ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34] \ end {समीकरण} हम अब एक बड़ी समस्या नोट करते हैं: दाहिने हाथ की ओर वास्तव में संवेग संरक्षण के कारण शून्य है, और शायद यही कारण है कि अधिकांश पुस्तकें वृक्ष-स्तर पर ऑप्टिकल प्रमेय पर चर्चा नहीं करती हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट तीन-कण एम्पलीट्यूड इस तथ्य के आधार पर खोल पर गायब हो जाते हैं कि$p_i\cdot p_j = 0$ सबके लिए $i,j$संवेग संरक्षण के कारण। हालांकि, यह सच नहीं है अगर हम स्पिनर हेलीकॉप्टर चर का उपयोग करते हैं और जटिल गति मान लेते हैं , जो कि बूटस्ट्रैपिंग एम्पलीट्यूड प्रोग्राम वास्तव में करता है।