Nomor Skyrmion

Question

Nomor skyrmion didefinisikan sebagai $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ dimana $n$ adalah indeks topologi, $\mathbf {M}$ adalah vektor satuan dalam arah magnetisasi lokal di dalam film tipis, ultra tipis, atau curah magnetik, dan integralnya diambil alih ruang dua dimensi.

Diketahui itu $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ dan $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. Dalam konfigurasi skyrmion, ketergantungan spasial magnetisasi dapat disederhanakan dengan mengatur variabel magnetik tegak lurus yang tidak bergantung pada sudut bidang ($ \theta \left(r\right)$) dan variabel magnet dalam bidang yang tidak bergantung pada jari-jari ($ \phi \left(\alpha\right)$). Kemudian nomor skyrmion berbunyi:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$

Pertanyaan saya adalah: adalah $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$produk curl dan apa output dari istilah ini? Bagaimana cara mencapai persamaan terakhir?

Answer 1

Ini bukan ikal. Ini dapat dilihat dengan mengekspresikan ikal dalam komponen vektor.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Sini $\partial_x$ menunjukkan turunan parsial sehubungan dengan $x$. Kuantitas$\partial_x\mathbf M$ adalah vektor seperti $\mathbf M$. Ini memiliki komponen$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Menghitung kuantitas $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ kemudian hanya masalah menerapkan produk silang. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$Ini adalah ekspresi yang menakutkan dan Anda mungkin tidak akan mendapatkan banyak intuisi dari melihat komponennya. Apa yang dapat Anda katakan tentang itu adalah itu$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$membentuk perkalian tiga vektor . Ini memberikan volume yang direntang oleh (paralelepiped dari)$\mathbf A,\mathbf B$ dan $\mathbf C$. Jadi kuantitas yang Anda integrasikan adalah volume yang direntangkan$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ dan $\partial_y \mathbf M$.

Untuk menghitung integral dalam persamaan terakhir Anda hanyalah masalah memasukkan semuanya ke dalam ekspresi terakhir saya untuk $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Ini membosankan tetapi harus bisa dilakukan.

---

EDIT Saya akan menambahkan beberapa info lagi untuk membuat perhitungan tidak terlalu membosankan. Turunan parsial dapat diperluas menggunakan aturan rantai $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Ini bisa dihitung menjadi $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Selanjutnya catat itu $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ dan $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Jika kita menamai vektor turunan parsial ini $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ dan $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ kemudian produk silang menjadi $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Akhirnya Anda bisa menghitungnya $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ dan Anda seharusnya dapat melakukan penghitungan ini tanpa menghitung semua komponen secara eksplisit.

Dan ya, Anda harus menambahkan faktornya $r$ ketika Anda beralih ke koordinat kutub seperti yang Anda sebutkan dalam komentar Anda.