Пересчет с симметрией

Question

Комитет Сената имеет $5$ Демократы и $5$Республиканцы. Какими способами они могут сесть за круглый стол, если все члены каждой партии сидят рядом друг с другом? Две расстановки сидений считаются одинаковыми, если для каждого человека слева от него одинаковы обе расстановки.

Мой подход:

Мы можем организовать каждую группу в $5!$способы. Мы можем организовать группу целиком в$2!$ способы т.е. $RD$ и $DR$. Я знаю, что похоже на то же самое из-за кругового расположения. Хотя я хочу как можно больше переоценить симметрии, чтобы мы могли разделить их за один раз. Это приводит нас к$5!\times 5!\times 2$. Теперь каждая аранжировка переоценивается$10$ раз ($10$вращения). Это приводит к моему ответу$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Я считаю, что это неправильно, потому что для простого случая$2$ Демократы и $2$ Республиканцы, такой подход приводит к $2$договоренности. Но, как легко проверить, есть$4$возможные договоренности. Может кто-нибудь помочь мне найти ошибку и дать правильный ответ?

Answer 1

Поскольку каждая договоренность полностью определяется порядком каждой стороны в своем блоке, $5!\cdot5!$уже считает каждую аранжировку ровно один раз. Такое же расположение может произойти в любом из$10$ позиции вокруг стола, поэтому, если вы действительно хотите переоценить, а затем избавиться от переоценки, вы должны иметь $10\cdot5!\cdot5!$аранжировки, которые различаются не только порядком людей за столом, но и их абсолютным положением за столом. Тогда вы разделите на$10$ принять во внимание тот факт, что вращательно-эквивалентные устройства не различаются, поэтому вы получите $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ договоренности.