Erweitern eines monoiden Objekts in einer Kategorie

Question

Ein monoides Objekt in einer spitzen Kategorie $\mathcal{C}$ ist ein Objekt $M$ ausgestattet mit einem Multiplikationsmorphismus $\mu: M\times M\to M$Das ist assoziativ und unital, was bedeutet, dass die Diagramme, die diese Eigenschaften ausdrücken, pendeln. A (zweiseitig)$M$ "Modul" kann auch in Form von Pfeilen formuliert werden: Wir brauchen eine Aktionskarte $\alpha_R:X\times M \to X$ und $\alpha_L:M\times X\to X$das sind assoziativ und unital. Die Pfeile$M \to M\times X\to X$ und $M\to X\times M \to X$sollte gleich sein; Nennen wir es$t:M\to X$.

Nun lass $t: M\to X$ sei der Morphismus des Monoids $M$ zu seinem zweiseitigen Modul $X$. Ich würde gerne eine "Erweiterung" finden$e:M\to N$ von $M$ mit $t$. Die Eigenschaften, die ich für die Erweiterung möchte, sind

1. $N$ sollte ein monoides Objekt sein und $e$ sollte ein Homomorphismus sein
2. $e$ sollte Faktor $M\xrightarrow{t} T\xrightarrow{f}N$
3. wenn $h:M\to Q$ ist ein monoider Homomorphismus, der Faktoren berücksichtigt $M\xrightarrow{t}T\xrightarrow{k} Q$ für etwas Morphismus $k:T\to Q$dann gibt es einen einzigartigen Homomorphismus $g_k: N\to Q$ so dass $k =g_k\circ f$.

Ich habe einen Plan, wie diese Konstruktion hergestellt werden soll. einstellen$N(0) = M$ und induktiv definieren $N(k)$ durch Bilden der Pushouts der Diagramme $$ N(k) \longleftarrow (N(k)\times_{M} N(0)) \cup (N(k-1) \times_{M} N(1)) \longrightarrow N(k)\times_{M} N(1) $$ Dann $N = \mathrm{colim}\, N(k)$sollte den Job machen. Einige Notizen:

1. Die Notation $A \times_M B$ gibt ein "Tensorprodukt von Modulen" an, das als Pushout von definiert ist $A\times B \gets A\times M \times B\to A\times B$unter Verwendung der Aktionskarte von $A$ links und $B$ auf der rechten Seite.
2. Ich benutze Union als Abkürzung für einen Pushout.
3. Teilmultiplikationen $N(k)\times_M N(\ell) \to N(k+\ell)$ müsste entlang der Konstruktion definiert werden.

Ich habe keine ernsthaften Befürchtungen bezüglich dieser Konstruktion; Aber anstatt alles auszuarbeiten und aufzuschreiben, würde ich eine gute Referenz vorziehen.

Frage: Gibt es eine gute Referenz für Monoiderweiterungen in dieser Art von kategorialer Allgemeinheit?

Answer 1

Ich denke nicht, dass die Frage, die Sie mit der Konstruktion gestellt haben, die Sie beschreiben, in der Literatur explizit behandelt wurde (obwohl es sehr gut sein könnte).

Was in der Literatur viel diskutiert wurde, ist ein Sonderfall, in dem $M$ist das triviale Monoid (das Endobjekt oder allgemeiner die Einheit für das Produkt). Dies ist die Konstruktion des "freien Monoids auf einem spitzen Objekt". Siehe zum Beispiel dieses Papier von S.Lack und seine Referenzen.

Die Konstruktion in der Zeitung von Lack scheint jedoch nicht ganz die gleiche zu sein wie die, nach der Sie suchen. Ich vermute, dass die von Ihnen beschriebene Konstruktion aus Kellys transfinitem Papier extrahiert werden kann . Insbesondere zeigt er in Abschnitt 23, wie man dieses freie Monoid unter Verwendung der Konstruktion der freien Algebra auf einem spitzen Endofunktor konstruiert, was meiner Meinung nach genau die Konstruktion ergibt, die Sie beschreiben, aber es wird nicht so explizit gesagt.

Der allgemeinere Fall, von dem Sie sprechen (mit M nicht trivial), kann aus diesem speziellen Fall wie folgt wiederhergestellt werden: Die oben beschriebene Konstruktion geht nicht davon aus, dass wir mit dem kartesischen Produkt arbeiten: einer monoidalen Struktur (mit einer gewissen Colimit-Konservierung) Eigenschaften) wird ausreichen.

Aus diesem Grund können Sie in der Kategorie arbeiten $M$-Bimodul mit dem Tensorprodukt $A \otimes_M B$ (die das Recht nutzen $M$-Modulstruktur auf $A$ und die linke $M$-Modulstruktur auf $B$ um das Tensorprodukt zu definieren, und die anderen beiden, um das Tensorprodukt mit einer Bimodulstruktur auszustatten).

Das Einheitsobjekt von $M$ mit seiner offensichtlichen Bimodulstruktur.

Ein "spitzes Objekt" ist hier genau ein Bimodul $X$ mit einem bimodulen Morphismus $M \to X$ wie du beschreibst.

Ein Monoid in dieser monoidalen Kategorie ist dasselbe wie ein Monoid $N$ mit einem Morphismus von Monoid $M \to N$. Was Sie also suchen, ist die Konstruktion des freien Monoids auf einem spitzen Objekt in dieser Kategorie von Bimodulen, die unter Verwendung von Kellys oder Lack's Papier (und wahrscheinlich anderen Referenzen) konstruiert werden kann.

In Bezug auf die Annahme benötigen Sie eine gewisse Annahme der Existenz von Colimits (um das Tensorprodukt von Bimodule zu definieren und Ihre Konstruktion durchzuführen) und der Erhaltung von Colimits unter Produkten, damit die Konstruktion selbst funktioniert (und möglicherweise auch für das Tensorprodukt von $M$-Bimodul als monoidale Struktur?). Die genaue Annahme, die Sie benötigen, hängt davon ab, welche Konstruktion Sie genau verwenden. Am sichersten ist jedoch die Annahme, dass Sie in einer kartesischen (oder monoidalen) geschlossenen Kategorie arbeiten.