Vorzeichenwechsel der Dauerfunktion [geschlossen]

Question

Beweisen Sie, dass es eine kontinuierliche Funktion gibt $f(x)$ so dass $f(a)<0$ und $f(b)>0$ dann gibt es eine $a<c<b$ so dass $$f(c)=0$$ und $f(x)$ ändert in keinem der Intervalle das Vorzeichen $(c-\delta, c)$ und $(c, c+\delta)$ für einige $\delta>0$ aber $f(x)$ hat entgegengesetzte Vorzeichen in diesen Intervallen.

Beachten Sie, dass der Zwischenwertsatz die Existenz von impliziert $c$ so dass $f(c) = 0$.

Wie im Kommentar vorgeschlagen, gibt es kontinuierliche Funktionen $f$ mit $c$ so dass $f(c)=0$ aber $f$ist nicht von festem Vorzeichen auf beiden Seiten. Zum Beispiel angesichts der Funktion

\begin{align} f: (-1, 1) \to \mathbb R,\ \ \ \ \ \ f(x) = \begin{cases} x\sin \frac 1x, & \text{ if } x\neq 0, \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases} \end{align}

dann $f(0) = 0$ aber wir können solche nicht finden $\delta$. Aber wir können einen anderen finden$c\neq 0$ mit dieser Eigenschaft.

Answer 1

Quasi gibt der gestellten Frage ein gutes Gegenbeispiel, aber wir können auch ein Gegenbeispiel finden, das in jedem offenen Intervall von nicht konstant ist $[a,b]$.

Lassen $f_0$ sei die Nullfunktion an $[0,1]$. Definieren Sie eine Sequenz$f_k$ von, an der $k{th}$ Schritt beim Aufbau des ternären Kantorsatzes, Hinzufügen von Dreiecksfunktionen, die in den entfernten Intervallen unterstützt werden, skaliert durch $(-1)^{k+1}$.

(Mit "Dreiecksfunktion" meine ich eine in einem Intervall definierte Funktion $I$ so dass die Vereinigung von $I\times\{0\}$ mit seiner Grafik ist ein gleichseitiges Dreieck.)

Der Ablauf $f_k$ wird zu einigen kontinuierlichen konvergieren $f$. Wählen$a,b$ so dass $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$. Die Nullmenge von$f$ ist die Einschränkung des ternären Kantors auf gesetzt $[a,b]$. Da dies ein perfekter Satz ist, ist die Funktion$f$ hat keine isolierten Nullen und weil zwischen zwei beliebigen Nullen $f$ ändert das Vorzeichen, es ändert das Vorzeichen unendlich oft in jeder Nachbarschaft einer beliebigen Null.

Answer 2

Für ein einfaches Gegenbeispiel lassen Sie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definiert werden durch $$ f(x)= \begin{cases} x+1&\text{if}\;x < -1\\[4pt] 0&\text{if}\;-1 \le x \le 1\\[4pt] x-1&\text{if}\;x > 1\\[4pt] \end{cases} $$ und lass $a=-2,b=2$.

Aber nehmen wir an, wir brauchen das $f$ ist in keinem offenen Intervall identisch Null?

Mit dieser zusätzlichen Annahme denke ich, dass das Folgende immer noch ein Gegenbeispiel ergibt. . .

Lassen $C$ bezeichnen die Cantor-Menge und lassen $J=[0,1]{\setminus}C$

Für jede $x\in J$, Lassen $s(x)=(-1)^n$, wo $n$ ist die Anzahl der Stellen vor der ersten Stelle von $1$ in der ternären Darstellung von $x$.

Schon seit $C$ ist für alle geschlossen $x\in J$, die Distanz $d(x,C)$ ist positiv.

Lassen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definiert werden durch $$ f(x)= \begin{cases} x&\text{if}\;x < 0\\[4pt] 0&\text{if}\;x \in C\\[4pt] s(x)d(x,C)&\text{if}\;x\in J\\[4pt] x-1&\text{if}\;x >1\\ \end{cases} $$ und lass $a=-1,b=2$.

Dann existiert es nicht $c\in (a,b)$ die angegebenen Bedingungen erfüllen.