Cualquier subconjunto compacto y convexo de $\mathbb{R}^n$ es una deformación retraída de $\mathbb{R}^n$

Question

Estoy viendo una pregunta del Capítulo 32 de la Topología general de Willard :

Cualquier subconjunto compacto y convexo de $\mathbb{R}^n$ es una deformación retraída de $\mathbb{R}^n$

Estoy luchando por saber siquiera por dónde empezar con este ejercicio, ya que no tengo ninguna intuición de por qué la compacidad está relacionada con la (deformación) retracciones.

Creo que tendré que utilizar los siguientes hechos / definiciones:

1. Dejar $X := \mathbb{R}^n$. Si$Y \subseteq X$ es convexo, entonces cualquier $f,g \in C(X,Y)$ son homotópicos.
2. Un subconjunto $A \subseteq X$ es una retractación de $X$ Si $\exists r \in C(X,A)$ tal que $r(a) = a,$ para cada $a \in A$. Es una deformación retraída de$X$ Si $r$ es homotópico (como un mapa en $X$) a $1_X$ (la función de identidad en $X$).
3. Un subconjunto $E \subseteq X$ es compacto si cada portada de $E$ por conjuntos abiertos de $X$tiene una subcubierta finita. (Editar: de acuerdo con los comentarios, probablemente quiera usar el hecho de que cualquier subconjunto compacto de$\mathbb{R}^n$ está cerrado y acotado, en cambio).

Se agradece cualquier ayuda, incluidas las sugerencias sobre cómo comenzar a abordar esta pregunta.

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Editar: Basado en un comentario, intenté mostrar que el disco de la unidad cerrada$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1\}$ es una deformación retraída de $\mathbb{R}^2$. Creo que he mostrado eso a continuación, pero no encontré esto particularmente esclarecedor, así que me pregunto si me he saltado algo o tal vez mi "prueba" de esto no es correcta.

$D$ es un subconjunto compacto y convexo de $\mathbb{R}^2$ y la función $r: \mathbb{R}^2 \to D$ dada por:

$r((x,y)) = \left\{ \begin{array}{ll} (x,y) & \quad x^2+y^2 < 1 \\ \big(\frac{x}{x^2 + y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\big) & \quad x^2+y^2 \geq 1 \end{array} \right.$

es una retractación, como $r(d) = d$ para cada $d \in D$y es continuo. En efecto,$D$es una deformación retraer; si vemos$r$ como un mapa de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, vemos que es una función continua de $\mathbb{R}^2$ en un subconjunto convexo (claramente $\mathbb{R}^2$ es un subconjunto convexo de sí mismo) y, por lo tanto, según el Hecho 1 anterior, cualquier función continua, incluida la función de identidad $1_{\mathbb{R}^2}$, es homotópico de $r$.

Cualquier comentario sobre este primer intento será apreciado, ya que realmente no veo cómo esto aclara la situación más general.

Answer 1

Generalizaremos esto demostrando que

Cualquier subconjunto convexo cerrado de $\mathbb R^n$ es una fuerte deformación retraer $\mathbb R^n$.

Dejar $C$ ser un subconjunto convexo cerrado de $\mathbb R^n$. Para cada$x \notin C$ tenemos $$d(x,C) = \inf\{\lVert x - y \rVert : y \in C \} > 0 ,$$ porque de lo contrario encontraríamos una secuencia $(y_n)$ en $C$ tal que $y_n \to x$. Pero entonces tendríamos$x \in C$ ya que $C$ está cerrado.

Tenga en cuenta que la definición de $d(x,C)$se basa en la norma euclidiana . Esto será esencial para nuestra prueba. Vea el comentario a continuación.

Existe $y \in C$ tal que $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$. De hecho, deja$y_n \in C$ tal que $\lVert x - y_n \rVert < d(x,C) + 1/n$. Esta secuencia está limitada por$\lVert x \rVert + d(x,C) + 1$, por lo tanto, tiene una subsecuencia convergente, por lo que podemos suponer que wlog $(y_n)$ converge a algunos $y \in \mathbb R^n$. Ya que$C$ está cerrado, tenemos $y \in C$ y $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$.

Afirmamos que $y$ es único porque $C$es convexo. Así que asume que$y' \in C$ es el punto $y' \ne y$ tal que $\lVert x - y \rVert = \lVert x - y' \rVert$. Los puntos$x, y, y'$ abarcar un plano euclidiano afín $E^2 \subset \mathbb R^n$y forman un triángulo isósceles. El punto medio$y'' = 1/2 y + 1/2y'$ del segmento de línea entre $y, y'$ está contenido en $C$. Los puntos$x,y, y''$ formar un triángulo rectángulo, así $\lVert x - y \rVert^2 = \lVert x - y'' \rVert^2 + \lVert y - y'' \rVert^2$ lo que da $\lVert x - y \rVert > \lVert x - y'' \rVert$, una contradicción.

Observación: como se señaló en un comentario de copper.hat, usamos una propiedad especial de la norma euclidiana$\lVert - \rVert$: Es estrictamente convexo, lo que significa que cualquier bola cerrada $B$ es un conjunto estrictamente convexo en el sentido de que cada punto del segmento de recta que conecta dos puntos $x, y \in B$ que no sean los puntos finales está dentro del interior de $B$. Probé un caso especial de esto (para el punto medio del segmento de línea) usando el teorema de Pitágoras. Tenga en cuenta que otras normas pueden no tener esta propiedad.

Definir $$r : \mathbb R^n \to C, r(x) = \begin{cases} x & x \in C \\ \text{unique } y \in C \text{ such that } \lVert x - y \rVert = d(x,C) & x \notin C \end{cases}$$

Demostremos que $r$ es continuo (es decir, que $r$es una retractación). La continuidad es obvia en todos los puntos interiores de$C$.

Consideremos ahora un punto límite $\xi$ de $C$. Dejar$\epsilon > 0$ y $x \in \mathbb R^n$ tal que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Afirmamos que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert = \lVert r(x) - \xi \rVert < \epsilon$. Esto es trivial para$x \in C$. Xa$x \notin C$ tenemos $\lVert r(x) - \xi \rVert \le \lVert r(x) - x \rVert + \lVert x - \xi \rVert = d(x,C) + \lVert x - \xi \rVert \le 2 \lVert x - \xi \rVert < \epsilon$.

Consideremos finalmente un punto $\xi \notin C$. En la secuela será útil hacer dibujos para comprender geométricamente lo que está sucediendo.

Empezamos con una preparación. Dejar$P^{n-1}(x)$ denotar el hiperplano afín que contiene $r(x)$ y es ortogonal a la línea que pasa por $x$ y $r(x)$ (es decir $P^{n-1}(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle = 0\}$ , dónde $\langle -, - \rangle$denota el producto interior estándar). Este es el hiperplano tangente de la esfera.$S^{n-1}(x;d(x,C))$ con centro $x$ y radio $d(x,C)$ en el punto $r(x)$. $P^{n-1}(x)$ divide $\mathbb R^n$en dos medios espacios abiertos. Dejar$H^n(x)$ denotar el medio espacio abierto que contiene $x$ (es decir $H^n(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle > 0\}$). Afirmamos que$H^n(x) \cap C = \emptyset$. Asume que existe$y \in H^n(x) \cap C$. Los puntos$x, r(x), y$ están contenidos en un plano euclidiano afín $E^2 \subset \mathbb R^n$ (Si $y$ se encuentra en la línea a través de $x$ y $r(x)$, entonces $E^2$no es único , pero eso no importa). El conjunto$S' = E^2 \cap S^{n-1}(x;d(x,C))$ es un círculo en $E^2$y $L = E^2 \cap P(x)$ es la recta tangente a $S'$ a $r(x)$. El círculo$S'$ limita el disco abierto $D^2(x,d(x,C)) \subset E^2$ con centro $x$ y radio $d(x,C)$. Claramente$y \notin D^2(x,d(x,C))$ porque de otra manera $d(x,C) \le \lVert y - x \rVert < d(x,C)$. La línea$L(y)$ mediante $y$ y $r(x)$ es diferente de $L$, así $D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$no está vacío. Dejar$y' \in D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$. Ya que$y \notin D^2(x,d(x,C))$, el punto $y'$ entre mentiras $y$ y $r(x)$, así $y' \in C$ porque $C$es convexo. Por lo tanto$d(x,C) \le d(x,y') < d(x,C)$, una contradicción.

Ahora deja $ 0 < \epsilon \le d(x,C)$ y $x \in \mathbb R^n$ tal que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Tenga en cuenta que esto asegura$x \in H^n(\xi)$. Afirmamos que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Dejar$\rho(x) \in P^{n-1}(\xi)$ ser el único punto tal que la línea $L_x$ mediante $x$ y $\rho(x)$ es ortogonal a $P^{n-1}(\xi)$. Tenemos$\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon/2$: Tenga en cuenta que en el cuadrilátero con vértices $\xi, x, r(\xi), \rho(x)$ (que abarca un plano euclidiano afín $E^2 \subset \mathbb R^n$) Los bordes $\overline{\xi r(\xi)}$ y $\overline{x \rho(x)}$ son paralelos a la distancia $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert$, así $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert \le$ longitud del borde $\overline{x \xi}$ cual es $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Tenemos$d(x,C) \le d(x,r(\xi))$, así $r(x)$ está contenido en la bola cerrada $\bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \subset \mathbb R^n$ con centro $x$ y radio $d(x,r(\xi))$. Ya que$H^n(\xi) \cap C = \emptyset$, Debemos tener $r(x) \in D' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap G^n(\xi)$, dónde $G^n(\xi) = \mathbb R^n \setminus H^n(\xi)$ es el semiespacio cerrado delimitado por $H^{n-1}(\xi)$ y no contiene $\xi$. La intersección$D'' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap P^{n-1}(\xi)$ es una bola cerrada en $P^{n-1}(\xi)$ con centro $\rho(x)$ y radio $R = \lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Así$D'$ es una cúpula esférica de $\bar D^n(x,d(x,r(\xi)))$ con base $D''$. El diámetro de$D'$ es igual al diámetro de $D''$ cual es $2R$. Así$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert \le 2R < \epsilon$.

$r$es de hecho una fuerte retracción por deformación. Mirar$$H: \mathbb R^n \times I \to \mathbb R^n, H(x,t) = (1-t)x + tr(x) .$$