Encontrar una función que sea distancia $1$ desde $x^2$ a lo largo de sus normales [duplicado]

Question

Así que recientemente pensé en un problema, que intenté resolver de muchas maneras pero no pude. Es muy simple de describir ...

Encuentra la función que es la distancia $1$ de parábola $y=x^2$a lo largo de sus normales. Visual de lo que quiero decir .

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Esta es una de las cosas que he probado ...

Esta función obtendría el correspondiente $x$ valor en la función que queremos encontrar de un $x$ valor en la curva $y=x^2$. La inversa daría el correspondiente$x $ valor en $x^2$ para una dada $x$ valor que haría trivial determinar el $y$ valor. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Esto se puede resolver a esto ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Sin embargo, no sé cómo obtener la inversa de esta función.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ entonces $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ o, según Wolfy, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Este es un cuartico en $x$ que se puede resolver pero es increíblemente complicado como se esperaba.

Answer 2

He encontrado ecuaciones paramétricas del locus

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

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Answer 3

Podemos modificar mediante la compensación de la parametrización estándar. Usado$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ en el gráfico (se utilizó un desplazamiento de 0,2 en lugar de 1,0 para mayor claridad del gráfico).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Agregamos o eliminamos distancias a lo largo de la normal y la tangente con desplazamiento $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$