Resolver ecuaciones no lineales de la forma $\mathbf x = A f(\mathbf x)$
Dejar $A$ ser real, invertible $n\times n$matriz. Me interesa encontrar los vectores$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ que resuelven la siguiente ecuación:
$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$
donde el $\tanh$se aplica por elementos. De manera más general, podemos considerar otros tipos de no linealidades en lugar de las$\tanh$ (pero siempre aplicado por elementos).
¿Existe un enfoque genérico para estudiar las soluciones de este tipo de ecuaciones? Probablemente explotando la descomposición propia de$A$?
Agregué la etiqueta "solicitud de referencia" en caso de que alguien pueda sugerir referencias relevantes a la literatura.
Respuestas
En el caso 2D, la ecuación toma la forma $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$
y después de la eliminación de $y$, obtenemos una ecuación no lineal univariante $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ No vemos ninguna simplificación ni conexión en particular con los valores propios.
He visto casos numéricos con cuatro soluciones positivas distintas.