$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ हर सिद्धांत के लिए $T$, हर कार्डिनल $\lambda$।

Question

लश्कर $T$ एक पूर्ण प्रथम क्रम सिद्धांत हो।

यह मानते हुए $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, यह स्पष्ट है कि $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? विकिपीडिया पर Vaught के अनुमान को देखते हुए सवाल यह था। मेरे पास बहुत अधिक मॉडल सिद्धांत ज्ञान नहीं है, इसलिए यह स्पष्ट हो सकता है और मैं सिर्फ गूंगा हो रहा हूं या हो सकता है कि यह तकनीक का उपयोग कर रहा हो जिसे मैंने अभी तक कवर नहीं किया है। या क्या यह शायद तब ही सच होता है$\lambda = \aleph_0$ ?

केवल एक चीज जिसके बारे में मैं सोच सकता हूं, वह यह है कि गैर आइसोमॉर्फिक मॉडल की संख्या की गणना किस प्रकार के आधार पर वे संतुष्ट करते हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि काफी काम करता है।

Answer 1

जिस सेटिंग में आप वर्णन कर रहे हैं, वह अधिकतम है $2^\lambda$ $L$-स्ट्रक्चर, और इसलिए निश्चित रूप से इससे अधिक नहीं $2^\lambda$ के मॉडल के समरूपता वर्ग $T$।

ठीक करें $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, और जाने $M$ कार्डिनैलिटी का एक सेट हो $\lambda$।

प्रत्येक के लिए $n$-यात्रा समारोह प्रतीक $f$ हमें व्याख्या करनी चाहिए $f$ एक समारोह के रूप में $f : M^n \to M$। बिल्कुल हैं$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$ऐसे कई कार्यों से चुनने के लिए। इसी तरह, प्रत्येक के लिए$n$-अरे संबंध प्रतीक हमारे पास है $2^\lambda$ विकल्पों से चुनने के लिए, और प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए हमारे पास केवल है $\lambda$ से चुनने के लिए विकल्प।

इस प्रकार भाषा में प्रत्येक प्रतीक के लिए हमारे पास सबसे अधिक है $2^\lambda$विकल्प। चूंकि ज्यादातर हैं$\lambda$ भाषा में प्रतीकों, हमारे द्वारा किए जाने वाले विकल्पों की कुल संख्या सबसे अधिक है $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$।