"इक्के के अंतिम"
आपके पास 52 कार्डों का एक थरथराया डेक है। हर बार जब आप डेक से एक कार्ड चुनते हैं। खींचा गया कार्ड वापस डेक में डाल दिया जाता है और सभी 52 कार्डों को फिर से बदल दिया जाता है। आप इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक आप सभी चार अलग-अलग इक्के नहीं देख लेते। जब तक आप सभी चार अलग-अलग इक्के को नहीं देख लेते, तब तक आपके पास एक कार्ड खींचने के लिए अपेक्षित मूल्य और मानक विचलन क्या हैं?
स्पष्ट रूप से समस्या यह है कि मैं एक ही इक्का को बार-बार खींच सकता हूं, इसलिए मुझे उन कार्डों की संख्या गिननी चाहिए जिन्हें मैं बीच में खींचता हूं $k-1$वें सफलता और $k$वें सफलता (यानी, उदाहरण के लिए, तीसरे और चौथे ऐस के बीच खींचे गए कार्ड, प्रत्येक दूसरे से अलग)। लेकिन तथ्य इक्के को इस तथ्य से अलग होना चाहिए कि एक बार इक्का खींचे जाने के बाद यह इक्का डेक में वापस आ जाता है जिसका मतलब है कि एक बार जब मैं तीसरे ऐस को खींचता हूं तो "गेम" खरोंच से शुरू होता है, इसलिए मुझे परीक्षणों की संख्या की गणना करनी होगी (तैयार किए गए कार्ड) पहली सफलता के लिए आवश्यक है (यानी चौथा और आखिरी इक्का अभी तक नहीं देखा गया है)।
तो अगर $X_i=[$से पहले # तैयार कार्ड $i$इक्का दुक्का$]$, हमारे पास वह है $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$।
समस्या को हल करने के लिए मैं इसका उपयोग कैसे कर सकता हूं? किसी भी सहायता के लिए अग्रिम रूप से धन्यवाद।
जवाब
लश्कर $X$ प्राप्त करने के लिए परीक्षणों की संख्या को दर्शाते हुए यादृच्छिक चर को निरूपित करें $4$इक्के। हम बांट सकते हैं$X$ जांच $4$ अलग-अलग यादृच्छिक चर, जिन्हें हम कॉल करेंगे $X_1$ (पहला इक्का खींचने के लिए परीक्षणों की संख्या), $X_2$ (पहले एक को खींचने के बाद दूसरी इक्का खींचने के लिए परीक्षणों की संख्या), $X_3$ (दूसरे को खींचने के बाद तीसरे ऐस को खींचने के लिए परीक्षणों की संख्या) और $X_4$(तीसरे को खींचने के बाद चौथा इक्का खींचने के लिए परीक्षणों की संख्या)। चरों की संभाव्यता वितरण ज्यामितीय वितरण है। एक ज्यामितीय वितरण के लिए, हमारे पास है$E[Y]=\frac1p$ तथा $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$।
एक परीक्षण में हमारी पहली इक्का खींचने का मौका है $\frac4{52}=\frac1{13}$ इसलिए $E[X_1]=13$ तथा $\text{Var}(X_1)=156$। ट्रायल में हमारी तीसरी इक्का खींचने का मौका है$\frac3{52}$ इसलिए $E[X_2]=\frac{52}3$ तथा $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$। ट्रायल में हमारी तीसरी इक्का खींचने का मौका है$\frac2{52}=\frac1{26}$ इसलिए $E[X_3]=26$ तथा $\text{Var}(X_3)=650$। ट्रायल में हमारी तीसरी इक्का खींचने का मौका है$\frac1{52}$ इसलिए $E[X_3]=52$ तथा $\text{Var}(X_4)=2652$।
चूंकि $X_1$, $X_2$, $X_3$ तथा $X_4$ स्वतंत्र हैं, हम अपेक्षित मूल्य और भिन्नता प्राप्त करने के लिए अपेक्षित मूल्यों और भिन्नताओं को सीधे जोड़ सकते हैं $X$। हमारे पास है
$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$
तथा
$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$
मानक विचलन को खोजने के लिए हम विचरण का वर्गमूल लेते हैं, जो है:
$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$