प्रत्यक्ष उत्पादों की समरूपता

Question

अगर $G, A, B$ समूह हैं, यह सामान्य रूप से सच नहीं है $G\times A\cong G\times B \implies A\cong B$। उदाहरण के लिए,$G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots, A=\mathbb{Z}, B=\{1\}$।

क्या होता है जब $G,A,B$परिमित होने के लिए प्रतिबंधित हैं ? क्या परिमित समूह हैं?$G,A,B$ ऐसा है कि $G\times A\cong G\times B$, परंतु $A\not\cong B$?

Answer 1

अगर $G$ सामान्य उपसमूहों पर एसीसी और डीसीसी (आरोही और अवरोही श्रृंखला की स्थिति) को संतुष्ट करता है, जो कब लागू होता है $G$ तब परिमित है $A \cong B$।

थायस क्रुल-श्मिट प्रमेय से चलता है , जिसे साबित करना मुश्किल है।