制御システム-補償器

補償器には、ラグ、リード、ラグリード補償器の3種類があります。これらは最も一般的に使用されます。

ラグ補償器

ラグ補償器は、正弦波入力が適用されたときに位相遅れを持つ正弦波出力を生成する電気ネットワークです。次の図に、「s」ドメインの遅れ補償回路を示します。

ここで、コンデンサは抵抗$ R_2 $と直列であり、出力はこの組み合わせで測定されます。

この遅れ補償器の伝達関数は-

$$ \ frac {V_o(s)} {V_i(s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left(\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right)$$

どこ、

$$ \ tau = R_2C $$

$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$

上記の式から、$ \ alpha $は常に1より大きくなります。

伝達関数から、ラグ補償器には$ s = − \ frac {1} {\ alpha \ tau} $に1つの極があり、$ s = − \ frac {1} {\ tau} $に1つのゼロがあると結論付けることができます。 。これは、ラグ補償器の極-零点構成では、極が原点に近くなることを意味します。

伝達関数で$ s = j \ omega $に置き換えます。

$$ \ frac {V_o(j \ omega)} {V_i(j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left(\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right)$$

位相角$ \ phi = \ tan ^ {-1} \ omega \ tau − tan ^ {-1} \ alpha \ omega \ tau $

出力正弦波信号の位相は、入力正弦波信号の位相角と伝達関数の合計に等しいことがわかっています。

したがって、この補償器の出力で位相遅れを生成するには、伝達関数の位相角を負にする必要があります。これは、$ \ alpha> 1 $の場合に発生します。

リードコンペンセータ

リード補償器は、正弦波入力が適用されたときに位相進みを持つ正弦波出力を生成する電気ネットワークです。次の図に、「s」ドメインのリード補償回路を示します。

ここで、コンデンサは抵抗$ R_1 $に並列であり、出力は抵抗$ R_2の両端で測定されます。

この鉛補償器の伝達関数は-

$$ \ frac {V_o(s)} {V_i(s)} = \ beta \ left(\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right)$$

どこ、

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

伝達関数から、リード補償器は$ s = − \ frac {1} {\ beta} $に極を持ち、$ s = − \ frac {1} {\ beta \ tau} $にゼロを持っていると結論付けることができます。

伝達関数で$ s = j \ omega $に置き換えます。

$$ \ frac {V_o(j \ omega)} {V_i(j \ omega)} = \ beta \ left(\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right )$$

位相角$ \ phi = tan ^ {-1} \ omega \ tau − tan ^ {-1} \ beta \ omega \ tau $

出力正弦波信号の位相は、入力正弦波信号の位相角と伝達関数の合計に等しいことがわかっています。

したがって、この補償器の出力で位相進みを生成するには、伝達関数の位相角が正である必要があります。これは、$ 0 <\ beta <1 $の場合に発生します。したがって、リード補償器の極-零点構成では、ゼロは原点に近くなります。

ラグリード補償器

ラグリード補償器は、1つの周波数領域で位相遅れを生成し、他の周波数領域で位相進みを生成する電気ネットワークです。これは、ラグ補償器とリード補償器の両方の組み合わせです。次の図に、「s」ドメインのラグリード補償回路を示します。

この回路は、両方の補償器がカスケード接続されているように見えます。したがって、この回路の伝達関数は、リード補償器とラグ補償器の伝達関数の積になります。

$$ \ frac {V_o(s)} {V_i(s)} = \ beta \ left(\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right)\ frac {1} {\ alpha} \ left(\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right)$$

$ \ alpha \ beta = 1 $を知っています。

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o(s)} {V_i(s)} = \ left(\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right)\ left(\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right)$$

どこ、

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$