制御システム-数学モデル

制御システムは、次のような一連の数式で表すことができます。 mathematical model。これらのモデルは、制御システムの分析と設計に役立ちます。制御システムの分析とは、入力と数学的モデルがわかっているときに出力を見つけることを意味します。制御システムの設計とは、入力と出力がわかっているときに数学モデルを見つけることを意味します。

以下の数学モデルが主に使用されます。

微分方程式モデル
伝達関数モデル
状態空間モデル

この章の最初の2つのモデルについて説明します。

微分方程式モデル

微分方程式モデルは、制御システムの時間領域の数学モデルです。微分方程式モデルについては、次の手順に従ってください。

与えられた制御システムに基本法を適用します。
中間変数を削除して、入力と出力に関する微分方程式を取得します。

例

次の図に示すように、次の電気システムについて考えてみます。この回路は、抵抗、インダクタ、コンデンサで構成されています。これらすべての電気素子はで接続されていますseries。この回路に印加される入力電圧は$ v_i $で、コンデンサの両端の電圧は出力電圧$ v_o $です。

この回路のメッシュ方程式は次のとおりです。

$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$

代わりに、上記の式のコンデンサ$ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $を流れる電流。

$$ \ Rightarrow \：v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left（\ frac {R} {L} \ right）\ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left（\ frac {1} {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac {1} {LC} \ right）v_i $$

上記の式は2次です differential equation。

伝達関数モデル

伝達関数モデルは、制御システムのsドメイン数学モデルです。ザ・Transfer function 線形時不変（LTI）システムのは、すべての初期条件がゼロであると仮定して、出力のラプラス変換と入力のラプラス変換の比率として定義されます。

$ x（t）$と$ y（t）$がLTIシステムの入力と出力である場合、対応するラプラス変換は$ X（s）$と$ Y（s）$です。

したがって、LTIシステムの伝達関数は$ Y（s）$と$ X（s）$の比率に等しくなります。

$$ ie、\：伝達\：関数= \ frac {Y（s）} {X（s）} $$

LTIシステムの伝達関数モデルを次の図に示します。

ここでは、伝達関数を内部に持つブロックを備えたLTIシステムを表現しました。そして、このブロックには入力$ X（s）$と出力$ Y（s）$があります。

例

以前は、電気システムの微分方程式は次のようになりました。

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left（\ frac {R} {L} \ right）\ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left（\ frac {1} {LC} \ right）v_o = \ left（\ frac {1} {LC} \ right）v_i $$

両側にラプラス変換を適用します。

$$ s ^ 2V_o（s）+ \ left（\ frac {sR} {L} \ right）V_o（s）+ \ left（\ frac {1} {LC} \ right）V_o（s）= \ left（ \ frac {1} {LC} \ right）V_i（s）$$

$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left（\ frac {R} {L} \ right）s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o（s）= \ left（\ frac { 1} {LC} \ right）V_i（s）$$

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o（s）} {V_i（s）} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left（\ frac {R} {L} \ right） s + \ frac {1} {LC}} $$

どこ、