周波数応答解析
制御システムの時間応答解析と2次制御システムの時間領域仕様についてはすでに説明しました。この章では、制御システムの周波数応答解析と2次制御システムの周波数領域仕様について説明します。
周波数応答とは何ですか？
システムの応答は、過渡応答と定常状態応答の両方に分割できます。フーリエ積分を使用して過渡応答を見つけることができます。入力正弦波信号に対するシステムの定常状態応答は、frequency response。この章では、定常状態の応答のみに焦点を当てます。
正弦波信号が線形時不変（LTI）システムへの入力として適用されると、定常状態の出力が生成されます。これも正弦波信号です。入力と出力の正弦波信号の周波数は同じですが、振幅と位相角が異なります。
入力信号を−とする
$$ r（t）= A \ sin（\ omega_0t）$$
開ループ伝達関数は次のようになります-
$$ G（s）= G（j \ omega）$$
以下に示すように、振幅と位相の観点から$ G（j \ omega）$を表すことができます。
$$ G（j \ omega）= | G（j \ omega）| \ angle G（j \ omega）$$
上記の式に$ \ omega = \ omega_0 $を代入します。
$$ G（j \ omega_0）= | G（j \ omega_0）| \ angle G（j \ omega_0）$$
出力信号は
$$ c（t）= A | G（j \ omega_0）| \ sin（\ omega_0t + \ angle G（j \ omega_0））$$
ザ・ amplitude 出力正弦波信号の振幅は、入力正弦波信号の振幅と$ \ omega = \ omega_0 $での$ G（j \ omega）$の大きさを乗算することによって得られます。
ザ・ phase 出力正弦波信号の位相は、入力正弦波信号の位相と$ G（j \ omega）$の位相を$ \ omega = \ omega_0 $で加算することによって得られます。
どこ、
A 入力正弦波信号の振幅です。
ω0 入力正弦波信号の角周波数です。
以下に示すように、角周波数$ \ omega_0 $と書くことができます。
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
ここで、$ f_0 $は入力正弦波信号の周波数です。同様に、閉ループ制御システムでも同じ手順に従うことができます。
周波数領域の仕様
周波数領域の仕様は次のとおりです。 resonant peak, resonant frequency and bandwidth。
2次閉ループ制御システムの伝達関数を次のように考えます。
$$ T（s）= \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
上記の式に$ s = j \ omega $を代入します。
$$ T（j \ omega）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {（j \ omega）^ 2 + 2 \ delta \ omega_n（j \ omega）+ \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {-\ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left（1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right）} $$
$$ \ Rightarrow T（j \ omega）= \ frac {1} {\ left（1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right）+ j \ left（\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right）} $$
$ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $この値を上記の式に代入します。
$$ T（j \ omega）= \ frac {1} {（1-u ^ 2）+ j（2 \ delta u）} $$
$ T（j \ omega）$の大きさは-
$$ M = | T（j \ omega）| = \ frac {1} {\ sqrt {（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2}} $$
$ T（j \ omega）$のフェーズは-
$$ \ angle T（j \ omega）=-tan ^ {-1} \ left（\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right）$$
共鳴周波数
周波数応答の大きさが初めてピーク値になる周波数です。$ \ omega_r $で表されます。$ \ omega = \ omega_r $では、$ T（j \ omega）$の大きさの最初の導関数はゼロです。
$ u $に関して$ M $を区別します。
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u）^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2（1-u ^ 2）（-2u）+2（2 \ delta u）（2 \ delta）\ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [（1-u ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u ）^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u（u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right] $$
上記の式の$ u = u_r $と$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $を代入します。
$$ 0 =-\ frac {1} {2} \ left [（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2 \ right] ^ {-\ frac {3} {2}} \ left [4u_r（u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2）\ right] $$
$$ \ Rightarrow 4u_r（u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2）= 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
上記の式に$ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $を代入します。
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
レゾナントピーク
これは、$ T（j \ omega）$の大きさのピーク（最大）値です。$ M_r $で表されます。
$ u = u_r $の場合、$ T（j \ omega）$の大きさは-
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {（1-u_r ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_r）^ 2}} $$
上記の式で、$ u_r = \ sqrt {1 − 2 \ delta ^ 2} $と$ 1 − u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $を代入します。
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {（2 \ delta ^ 2）^ 2 +（2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}）^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
周波数応答の共振ピークは、減衰比$ \ delta $の特定の値に対する時間領域の過渡応答のピークオーバーシュートに対応します。したがって、共振ピークとピークオーバーシュートは互いに相関しています。
帯域幅
これは、$ T（j \ omega）$の大きさがゼロ周波数値から70.7％に低下する周波数の範囲です。
$ \ omega = 0 $では、$ u $の値はゼロになります。
代用、Mで$ u = 0 $。
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {（1-0 ^ 2）^ 2 +（2 \ delta（0））^ 2}} = 1 $$
したがって、$ T（j \ omega）$の大きさは$ \ omega = 0 $で1になります。
3 dBの周波数では、$ T（j \ omega）$の大きさは$ \ omega = 0 $で$ T（j \ omega）$の大きさの70.7％になります。
つまり、$ \ omega = \ omega_Bの場合、M = 0.707（1）= \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta u_b）^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow 2 =（1-u_b ^ 2）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 u_b ^ 2 $$
$ u_b ^ 2 = x $とします
$$ \ Rightarrow 2 =（1-x）^ 2 +（2 \ delta）^ 2 x $$
$$ \ Rightarrow x ^ 2 +（4 \ delta ^ 2-2）x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {-（4 \ delta ^ 2 -2）\ pm \ sqrt {（4 \ delta ^ 2-2）^ 2 + 4}} {2} $$
xの正の値のみを考慮してください。
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {（2 \ delta ^ 2-1）^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）} $$
代わりに、$ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {（2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4）}} $$
周波数応答の帯域幅$ \ omega_b $は、時間領域の過渡応答の立ち上がり時間$ t_r $に反比例します。