制御システム-状態空間分析

前の章では、微分方程式と伝達関数から状態空間モデルを取得する方法を学びました。この章では、状態空間モデルから伝達関数を取得する方法について説明します。

状態空間モデルからの伝達関数

線形時不変（LTI）システムの状態空間モデルは-

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

状態方程式の両側にラプラス変換を適用します。

$$ sX（s）= AX（s）+ BU（s）$$

$$ \ Rightarrow（sI-A）X（s）= BU（s）$$

$$ \ Rightarrow X（s）=（sI-A）^ {-1} BU（s）$$

出力方程式の両側にラプラス変換を適用します。

$$ Y（s）= CX（s）+ DU（s）$$

上記の式のX（s）値を代入します。

$$ \ Rightarrow Y（s）= C（sI-A）^ {-1} BU（s）+ DU（s）$$

$$ \ Rightarrow Y（s）= [C（sI-A）^ {-1} B + D] U（s）$$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y（s）} {U（s）} = C（sI-A）^ {-1} B + D $$

上記の式は、システムの伝達関数を表しています。したがって、状態空間モデルで表されるシステムに対してこの式を使用することにより、システムの伝達関数を計算できます。

Note − $ D = [0] $の場合、伝達関数は次のようになります。

$$ \ frac {Y（s）} {U（s）} = C（sI-A）^ {-1} B $$

Example

状態空間モデルで表されるシステムの伝達関数を次のように計算してみましょう。

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

ここに、

$$ A = \ begin {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix}、\ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}、\ quad C = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ quadおよび\ quad D = [0] $$

$ D = [0] $の場合の伝達関数の式は-

$$ \ frac {Y（s）} {U（s）} = C（sI-A）^ {-1} B $$

上記の式のA、B、C行列を代入します。

$$ \ frac {Y（s）} {U（s）} = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1＆1 \\-1＆s \ end {bmatrix } ^ {-1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y（s）} {U（s）} = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s＆-1 \\ 1＆s + 1 \ end {bmatrix}} {（s + 1）s-1（-1）} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y（s）} {U（s）} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

したがって、与えられた状態空間モデルに対するシステムの伝達関数は次のようになります。

$$ \ frac {Y（s）} {U（s）} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

状態遷移マトリックスとそのプロパティ

システムに初期条件がある場合は、出力が生成されます。この出力は入力がなくても存在するため、zero input response$ x_ {ZIR}（t）$。数学的には、次のように書くことができます。

$$ x_ {ZIR}（t）= e ^ {At} X（0）= L ^ {-1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {-1} X（0）\ right \} $$

上記の関係から、状態遷移行列$ \ phi（t）$を次のように書くことができます。

$$ \ phi（t）= e ^ {At} = L ^ {-1} [sI-A] ^ {-1} $$

したがって、ゼロ入力応答は、状態遷移行列$ \ phi（t）$に初期条件行列を乗算することで取得できます。

以下は、状態遷移行列のプロパティです。

$ t = 0 $の場合、状態遷移行列は単位行列と等しくなります。

$$ \ phi（0）= I $$
状態遷移行列の逆数は、「t」を「-t」に置き換えるだけで、状態遷移行列の逆数と同じになります。

$$ \ phi ^ {-1}（t）= \ phi（−t）$$
$ t = t_1 + t_2 $の場合、対応する状態遷移行列は、$ t = t_1 $と$ t = t_2 $での2つの状態遷移行列の乗算に等しくなります。

$$ \ phi（t_1 + t_2）= \ phi（t_1）\ phi（t_2）$$

可制御性と可観測性

ここで、制御システムの制御性と可観測性について1つずつ説明します。

制御性

制御システムは controllable 制御システムの初期状態が、有限の時間内に制御された入力によって他のいくつかの望ましい状態に転送（変更）された場合。

を使用して、制御システムの制御性を確認できます。 Kalman’s test。

行列$ Q_c $を次の形式で記述します。

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
行列$ Q_c $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは制御可能です。

可観測性

制御システムは observable 有限の時間内に出力を観察することにより、制御システムの初期状態を決定できるかどうか。

を使用して、制御システムの可観測性を確認できます。 Kalman’s test。

行列$ Q_o $を次の形式で記述します。

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad（A ^ T）^ 2C ^ T \ quad ... \ quad（A ^ T）^ {n-1} C ^ T \右] $$
行列$ Q_o $の行列式を見つけ、それがゼロに等しくない場合、制御システムは観測可能です。

Example

状態空間モデルで次のように表される制御システムの制御可能性と可観測性を検証しましょう。

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

ここに、

$$ A = \ begin {bmatrix} -1＆-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix}、\ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}、\ quad \ begin {bmatrix } 0＆1 \ end {bmatrix}、D = [0] \ quadおよび\ quad n = 2 $$

$ n = 2 $の場合、行列$ Q_c $は次のようになります。

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

行列AとBの積を次のように取得します。

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1＆-1 \\ 0＆1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

行列$ Q_c $の行列式はゼロに等しくないため、与えられた制御システムは制御可能です。

$ n = 2 $の場合、行列$ Q_o $は-になります。

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

ここに、

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1＆1 \\-1＆0 \ end {bmatrix} \ quadおよび\ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

行列$ A ^ T $と$ C ^ T $の積を次のように取得します。