二次システムの応答

この章では、2次システムの時間応答について説明します。次の閉ループ制御システムのブロック図を検討してください。ここでは、開ループ伝達関数$ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $が単一の負のフィードバックに接続されています。

ユニティネガティブフィードバックを持つ閉ループ制御システムの伝達関数は、

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {G（s）} {1 + G（s）} $$

上記の式の$ G（s）= \ frac {\ omega ^ 2_n} {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} $を代入します。

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ left（\ frac {\ omega ^ 2_n} {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right）} {1+ \ left（\ frac {\ omega ^ 2_n} {s（s + 2 \ delta \ omega_n）} \ right）} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

's'の累乗は分母の項で2です。したがって、上記の伝達関数は2次であり、システムは次のようになります。second order system。

特性方程式は-

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

特性方程式の根は-

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {（2 \ delta \ omega _n）^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2（\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} {2} $$

$$ \ Rightarrow s =-\ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• δ= 0の場合、2つの根は虚数です。
• δ= 1の場合、2つの根は実数で等しくなります。
• 2つの根は実数ですが、δ> 1の場合は等しくありません。
• 0 <δ<1の場合、2つの根は複素共役です。

$ C（s）$方程式は次のように書くことができます。

$$ C（s）= \ left（\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）$$

どこ、

• C(s) は出力信号のラプラス変換です。c（t）

• R(s) 入力信号のラプラス変換r（t）

• ω_n 固有振動数です

• δ は減衰比です。

次の手順に従って、時間領域で2次システムの応答（出力）を取得します。

• 入力信号$ r（t）$のラプラス変換を行います。

• $ C（s）= \ left（\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）$という方程式を考えてみましょう。

• 上記の式に$ R（s）$の値を代入します。

• 必要に応じて、$ C（s）$の部分分数を実行します。

• 逆ラプラス変換を$ C（s）$に適用します。

二次システムのステップ応答

単位ステップ信号を2次システムへの入力と見なします。

単位ステップ信号のラプラス変換は、

$$ R（s）= \ frac {1} {s} $$

2次閉ループ制御システムの伝達関数は次のとおりです。

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

ケース1：δ= 0

伝達関数で$ \ delta = 0 $に置き換えます。

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）R（s）$$

上記の式で$ R（s）= \ frac {1} {s} $を代入します。

$$ C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right）\ left（\ frac {1} {s} \ right）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s（s ^ 2 + \ omega_n ^ 2）} $$

両側に逆ラプラス変換を適用します。

$$ c（t）= \ left（1- \ cos（\ omega_n t）\ right）u（t）$$

したがって、$ / delta = 0 $の場合の2次システムの単位ステップ応答は、一定の振幅と周波数を持つ連続時間信号になります。

ケース2：δ= 1

伝達関数で$ / delta = 1 $に置き換えます。

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）R（s）$$

上記の式で$ R（s）= \ frac {1} {s} $を代入します。

$$ C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ omega_n）^ 2} \ right）\ left（\ frac {1} {s} \ right）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s（s + \ omega_n）^ 2} $$

$ C（s）$の部分分数を実行します。

$$ C（s）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s（s + \ omega_n）^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {（s + \ omega_n）^ 2} $$

単純化すると、A、B、およびCの値がそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：-\ omega _n $として取得されます。これらの値を上記の$ C（s）$の部分分数展開に代入します。

$$ C（s）= \ frac {1} {s}-\ frac {1} {s + \ omega_n}-\ frac {\ omega_n} {（s + \ omega_n）^ 2} $$

両側に逆ラプラス変換を適用します。

$$ c（t）=（1-e ^ {-\ omega_nt}-\ omega _nte ^ {-\ omega_nt}）u（t）$$

したがって、2次システムの単位ステップ応答は、定常状態でステップ入力に到達しようとします。

ケース3：0 <δ<1

伝達関数の分母項を次のように変更できます-

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2 $$

$$ =（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）$$

伝達関数は、

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} $ $

$$ \ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）R（s ）$$

上記の式で$ R（s）= \ frac {1} {s} $を代入します。

$$ C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} \ right）\ left（\ frac {1} {s} \ right）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）\ right）} $ $

$ C（s）$の部分分数を実行します。

$$ C（s）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left（（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）\ right）} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} $$

単純化すると、A、B、およびCの値がそれぞれ$ 1、\：-1 \：および\：-2 \ delta \ omega _n $として取得されます。これらの値を上記のC（s）の部分分数展開に代入します。

$$ C（s）= \ frac {1} {s}-\ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2） } $$

$$ C（s）= \ frac {1} {s}-\ frac {s + \ delta \ omega_n} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）}- \ frac {\ delta \ omega_n} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_n ^ 2（1- \ delta ^ 2）} $$

$ C（s）= \ frac {1} {s}-\ frac {（s + \ delta \ omega_n）} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 +（\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ）^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {（s + \ delta \ omega_n） ^ 2 +（\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}）^ 2} \ right）$

上記の式の$ \ omega_d $として、$ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $を代入します。

$$ C（s）= \ frac {1} {s}-\ frac {（s + \ delta \ omega_n）} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left（\ frac {\ omega_d} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right）$$

両側に逆ラプラス変換を適用します。

$$ c（t）= \ left（1-e ^ {-\ delta \ omega_nt} \ cos（\ omega_dt）-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin（\ omega_dt）\ right）u（t）$$

$$ c（t）= \ left（1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left（（\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }）\ cos（\ omega_dt）+ \ delta \ sin（\ omega_dt）\ right）\ right）u（t）$$

$ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin（\ theta）$の場合、「δ」はcos（θ）になります。これらの値を上記の式に代入します。

$$ c（t）= \ left（1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}}（\ sin（\ theta）\ cos（\ omega_dt） + \ cos（\ theta）\ sin（\ omega_dt））\ right）u（t）$$

$$ \ Rightarrow c（t）= \ left（1- \ left（\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt + \ theta）\ right）u（t）$$

したがって、2次システムの単位ステップ応答では、「δ」が0と1の間にあるときに、振動が減衰（振幅が減少）します。

ケース4：δ> 1

伝達関数の分母項を次のように変更できます-

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2（s）（\ delta \ omega_n）+（\ delta \ omega_n）^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-（\ delta \ omega_n）^ 2 $$

$$ = \ left（s + \ delta \ omega_n \ right）^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left（\ delta ^ 2-1 \ right）$$

伝達関数は、

$$ \ frac {C（s）} {R（s）} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2-1）} $ $

$$ \ Rightarrow C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2- \ omega_n ^ 2（\ delta ^ 2-1）} \ right）R（s ）$$

上記の式で$ R（s）= \ frac {1} {s} $を代入します。

$ C（s）= \ left（\ frac {\ omega_n ^ 2} {（s + \ delta \ omega_n）^ 2-（\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）^ 2} \ right）\ left （\ frac {1} {s} \ right）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} $

$ C（s）$の部分分数を実行します。

$$ C（s）= \ frac {\ omega_n ^ 2} {s（s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

単純化すると、A、B、Cの値が1、$ \ frac {1} {2（\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}として取得されます。 ）} $と$ \ frac {-1} {2（\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} $それぞれ。これらの値を上記の$ C（s）$の部分分数展開に代入します。

$$ C（s）= \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2（\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} \ left（\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right）-\ left（\ frac {1} {2（\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} \ right）\ left（\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right）$$

両側に逆ラプラス変換を適用します。

$ c（t）= \ left（1+ \ left（\ frac {1} {2（\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} \ right ）e ^ {-（\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）t}-\ left（\ frac {1} {2（\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ）（\ sqrt {\ delta ^ 2-1}）} \ right）e ^ {-（\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）t} \ right）u（t）$

過減衰であるため、δ> 1の場合の2次システムの単位ステップ応答は、定常状態ではステップ入力に到達しません。

二次システムのインパルス応答

ザ・ impulse response 二次システムのは、これら2つの方法のいずれかを使用して取得できます。

• $ \ frac {1} {s} $ではなく$ R（s）$の値を1と見なして、ステップ応答を導出する際の手順に従います。

• ステップ応答の微分を行います。

次の表は、減衰比が4つの場合の2次システムのインパルス応答を示しています。

減衰比の条件	t≥0のインパルス応答
δ= 0	$ \ omega_n \ sin（\ omega_nt）$
δ= 1	$ \ omega_n ^ 2te ^ {-\ omega_nt} $
0 <δ<1	$ \ left（\ frac {\ omega_ne ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right）\ sin（\ omega_dt）$
δ> 1	$ \ left（\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right）\ left（e ^ {-（\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }）t} -e ^ {-（\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}）t} \ right）$